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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.6 - Ex. 26

26 - Densidade constante Determine o momento em torno do eixo x de um fio de densidade constante que se situe ao longo da curva y = x 3 de x =   0 a x = 1 .

Passo 1

Assim:

y = x 3

d y = 3 x 2   d x

Com os limites de 0 até 1, montamos a seguinte função para integrar:

d x =   d x 2 + d y 2

Assim:

d x =   1 2 + 3 x 2 2 = 1 + 9 x 4 d x

Inserindo na integral teremos:

δ ∫ 0 1 x 3 1 + 9 x 4 d x

Passo 2

Utilizando o método de substituição u d u

u = 1 + 9 x 4

d u = 36 x 3

d x = 1 d u = 1 36 x 3

Inserindo na integral:

δ ∫ 0 1 x 3 ⋅ 1 36 x 3 u d u = δ 36 ∫ 0 1 u d u = δ 36 u 1 2 + 1 1 2 + 1 0 1 = δ 36 u 3 2 3 2 0 1 = δ 36 2 u 3 3 0 1 = 2 δ 108 u u 0 1

Passo 3

Substituindo para u = 1 + 9 x 4

δ 54 1 + 9 x 4 1 + 9 x 4 0 1

Inserindo os limites de integração:

δ 54 1 + 9 ⋅ 1 4 1 + 9 ⋅ 1 4 - 1 + 0 1 = δ 54 10 10 - 1

Assim:

δ 54 10 10 - 1

Resposta

δ 54 10 10 - 1

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