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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 61

Determine o limite:

underset(x -> oo)(lim) ((x + 2)/(x - 1))^x

Passo 1

O limite resulta em uma indeterminação da forma 1^(oo) .

Para fugir da indeterminação, vamos fazer f (x) = ((x + 2)/(x - 1))^x . Agora vamos fazer o logaritmo dos dois lados:

ln ( f (x) ) = ln ((x + 2)/(x - 1))^x

Isso resulta em: ln f ( x ) = x ln (x + 2)/(x - 1)

Então...

underset(x -> oo)(lim) ln f ( x ) = underset(x -> oo)(l i m) x ln (x + 2)/(x - 1)

E vamos reescrever como um quociente:

underset(x -> oo)(l i m) ((ln (x + 2)/(x - 1))/((1)/(x)))

Passo 2

Agora, vamos aplicar a regra de L´Hôpital e derivar a função de cima e a de baixo...

underset(x -> oo)(l i m) ((ln (x + 2)/(x - 1))/((1)/(x))) = underset(x -> oo)(l i m) (((1)/(x + 2) + (1)/(x - 1))/(- (1)/(x^2)))

underset(x -> oo)(l i m) ((- (3)/((x + 2) (x - 1)))/(- (1)/(x^2))) = underset(x -> oo)(l i m) (3 x^2)/(( x + 2 ) ( x - 1 ))

Derivamos de novo...

underset(x -> oo)(l i m) (3 x^2)/(( x + 2 ) ( x - 1 )) = underset(x -> oo)(l i m) (6 x)/(2 x + 1) = 3

Bom, então underset(x -> oo)(l i m) ln f ( x ) = 3

Vamos usar a exponencial dos dois lados então...

underset(x -> oo)(l i m) e^(ln f (x)) = e^3

underset(x -> oo)(l i m) f (x) = e^3

E encontramos o limite procurado😉

Resposta

underset(x -> oo)(lim) ((x + 2)/(x - 1))^x = e^3

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Determine o limite:underset(x - 0)(lim) ( e^x + x )^((1)/(x))
Determine o limite: lim x → e + ⁡ ( ln ⁡ x ) 1 x - e
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 1 + x 1 / x - 1