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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 126

Determine d y // d x :

y = int_1^(e^(sqrt(x))) ln (t^2 + 1) d t

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então F (x) = int_a^x f (t) d t é contínua em [ a , b ] e derivável em (a , b) e sua derivada f ( x ) é dada por:

F ' (x) = (d)/(d x) int_a^x f (t) d t = f ( x )

Contudo, neste caso, o limite superior de integração não é x , mas e^(sqrt(x)) . Isso torna y uma composição de duas funções:

y = int_1^u ln ( t^2 + 1 ) d t e u = e^(sqrt(x))

Observe que é como se estivéssemos aplicando a regra da substituição para os limites de integração.

Passo 2

Devemos, portanto, aplicar a regra da cadeia quando determinamarmos d y // d x .

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) xx (d u)/(d x)

Assim, temos:

F^' (x) = (d)/(d x) int_1^u ln ( t^2 + 1 ) d t xx (d u)/(d x) = ln (u^2 + 1) xx (e^(sqrt(x)))/(2 √ x) = ln [ ( e^(sqrt(x)) )^2 + 1 ] xx (e^(sqrt(x)))/(2 √ x) =

= [ ln e^(2 sqrt(x)) + ln 1 ] xx (e^(sqrt(x)))/(2 √ x) = 2 sqrt(x) xx (e^(sqrt(x)))/(2 √ x) = e^(sqrt(x))

Resposta

e^(sqrt(x))

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