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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 128

Determine d y // d x :

y = int_(t g^(- 1) ( x ))^((pi)/(4)) e^(sqrt(t)) d t

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então F (x) = int_a^x f (t) d t é contínua em [ a , b ] e derivável em (a , b) e sua derivada f ( x ) é dada por:

F ' (x) = (d)/(d x) int_a^x f (t) d t = f ( x )

Contudo, neste caso, o limite inferior de integração é t g^(- 1) ( x ) . Para isso aplicamos a regra da Ordem de Integração, que é dada por:

int_b^a f (x) d x = - int_a^b f (x) d x

Assim, temos:

F^' (x) = (d y)/(d x) = (d)/(d x) int_(t g^(- 1) (x))^((pi)/(4)) e^(sqrt(t)) d t = - (d)/(d x) int_((pi)/(4))^(t g^(- 1) ( x )) e^(sqrt(t)) d t

Passo 2

Neste caso, o limite superior de integração não é x , mas t g^(- 1) (x) . Isso torna y uma composição de duas funções:

y = - int_((pi)/(4))^u e^(sqrt(t)) d t e u = t g^(- 1) (x)

Observe que é como se estivéssemos aplicando a regra da substituição para os limites de integração.

Passo 3

Devemos, portanto, aplicar a regra da cadeia quando determinamarmos d y // d x .

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) xx (d u)/(d x)

Assim, temos:

F^' (x) = (d y)/(d x) = - (d)/(d x) int_((pi)/(4))^u e^(sqrt(t)) d t xx (d u)/(d x) = - e^(sqrt(u)) xx (1)/(1 + x^2) = - (e^(sqrt(t g^(- 1) (x))))/(1 + x^2)

Resposta

- (e^(sqrt(t g^(- 1) (x))))/(1 + x^2)

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