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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 2.10 - Ex. 28

28.Se f ( x ) = x^2 - 2 x + 1 , encontre uma função g ( x ) para os quais ( f // g ) ( x ) = x - 1 .

Passo 1

Teremos que fatorar x^2 - 2 x + 1 , sempre que tivemos fatorar uma função do 2 grau usaremos a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

( f // g ) ( x ) = x - 1

( f // g ) ( x ) = (f ( x ))/(g ( x )) = x - 1

Substituindo f ( x ) por x^2 - 2 x + 1 .

(x^2 - 2 x + 1)/(g ( x )) = x - 1

g ( x ) = (x^2 - 2 x + 1)/(x - 1)

Pelo jeito, g ( x ) já terá uma restrição!! Já que não podemos ter 0 no denominador, podemos afirmar que para g ( x ) existir, x != 1 !

Se fôssemos falar de domínio, teríamos que o D o m ( g ) = R - {1} .

Passo 3

Vamos fatorar a função x^2 - 2 x + 1 , para isso acharemos as raízes e colocaremos na fórmula canônica:

x^2 - 2 x + 1 = (x - r 1) ( x - r 2 )

Em que r 1 e r 2 são as raízes da função!

x^2 - 2 x + 1

a = 1 b = - 2 c = 1

Delta = b^2 - 4 a c = (- 2)^2 - 4 (1) (1) = 4 - 4 = 0

Então as raízes são iguais!

r 1 = r 2 = (- b)/(2 a) = (2)/(2) = 1

Voltando para a forma canônica, temos:

x^2 - 2 x + 1 = (x - 1) ( x - 1 )

x^2 - 2 x + 1 = (x - 1)^2

Lembrando de onde paramos:

g ( x ) = (x^2 - 2 x + 1)/(x - 1) = ((x - 1)^2)/(x - 1)

Podemos cortar no denominador (parte de baixo) e numerador (parte de cima), desde que não tenhamos zero no denominador!

Então, para x != 1 , temos:

g ( x ) = x - 1

Resposta

g ( x ) = x - 1

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