29. Bombeamento de um reservatório Um reservatório em forma de cone circular reto, apontando para baixo, com 20 pés medidos transversalmente no topo e com 8 metros de profundidade, está cheio de água. Quanto trabalho é necessário para bombear a água a um nível 6 pés acima do topo?

Passo 1

Primeiro vamos transformar as medidas que estão em pés para metro:

20   p é s = 6,1   m

6   p é s = 1,8   m

Nós podemos desenhar a seção transversal de cone, em um plano cartesiano, para facilitar nossas contas:

A reta que a lateral do cone faz é igual a

x = 3 8 y

Passo 2

Imagine que esse reservatório é igual a uma soma de vários clindros com altura infinitesimais, cada clindros tem um volume de:

d V = π r y 2 d y

Mas, nós conhecemos a reta da lateral do cone, a coordenada x dessa reta é igual ao raio, para cada valor de altura temos um raio, então:

d V = π r 3 8 y 2 d y

d V = 9 π 64 y 2 d y

O peso desse pedacinho de volume é igual ao voluma vezes a densidade da água, 997   k g / m 3 :

d P = ρ ⋅ d V

d P = 997 ⋅ 9 π 64 y 2 d y

d P = 140 π y 2 d y

Passo 3

Para nós levarmos esse peso até o topo vamos ter que fazer um poquinho de trabalho, podemos escrever assim:

d W = h ⋅ d P

A altura que cada pedaço de volume subiu vai ser igual a ( 8   m + 1,8   m ) menos sua própria altura:

h = 9,8 - y

Então seu trabalho é igual a

d W = 9,8 - y ⋅ 140 π y 2 d y

d W = 1372 π y 2 - 140 π y 3 d y

Passo 4

Integrando essa equação, vamos descobrir o trabalho total necessário para bombear a água:

W = ∫ 0 8 1372 π y 2 - 140 π y 3 d y

W = 457,3 π y 3 - 35 π y 4 ​ 0 8

W = 457,3 π 8 3 - 35 π 8 4

W = 285   k J

Resposta

W = 285   k J

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