Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

x = y^2; x = -y; y = 2; y > 0

Passo 1

Temos a seguinte imagem gráfica:

Logo, podemos perceber que a variação no eixo y é 0 < y ≤ 2

Queremos usar o método da casca, porém a rotação agora é em torno do eixo x, logo, devemos usar a seguinte fórmula:

V =   ∫ a b 2 π y   f y d y

Em que f y =   y 2 - ( - y )

Substituindo da fórmula acima, temos:

V =   ∫ 0 2 2 π y   y 2 - ( - y ) d y

= 2 π ∫ 0 2 ( y 3 + y 2 )   d y = 2 π y 4 4 + y 3 3 2 0

= 2 π 16 4 + 8 3 = 2 π . 80 12 = 40 π 3

Resposta

40 π 3

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