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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.7 - Ex. 2

Considere um objeto movendo-se com uma função posição s = f ( t ) .

( a ) Escreva uma expressão para a velocidade média no intervalo de tempo desde t = a até t = a + h

( b ) Escreva uma expressão para a velocidade instantânea dele no tempo t = a .

Passo 1

E aí, tudo bom?! Aqui a gente tem um objeto que está se movendo segundo a função:

s = f t

A primeira coisa que a gente precisa fazer é achar uma expressão pra velocidade média de t = a até t = a + h . Pra isso a gente vai usar a fórmula:

v m = d e s l o c a m e n t o t e m p o

Depois a gente vai calcular a velocidade instantânea v ( a ) no instante t = a . Se falou instantânea a gente vai usar o limite com a variação de tempo h tendendo a zero!

Agora vamos colocar a mão na massa?!

Passo 2

Começando pela letra (a), a posição do corpo no instante t = a é igual:

s i = f ( a )

A posição do corpo no instante t = a + h é igual a:

  s f = f ( a + h )

Então o deslocamento é:

d e s l o c a m e n t o = f a + h - f ( a )

E a variação de tempo:

t e m p o = a + h - a

Calculando a velocidade média, temos:

V m = f ( a + h ) - f ( a ) ( a + h ) - a = f ( a + h ) - f ( a ) h

Passo 3

Agora é a vez da velocidade instantânea! Aqui no numerador a gente tem o deslocamento considerando a posição inicial igual a f ( a ) e a final f ( a + h ) , onde h é a variação de tempo.

Só que a gente quer que essa velocidade seja INSTANTÂNEA, então a gente vai aproximar esse h de zero. Ficamos então com:

v a = l i m h → 0 f a + h - f a h

Prontinho!

Resposta

( a )

V m = f ( a + h ) - f ( a ) h

( b )  

v ( a ) = l i m h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h

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