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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.7 - Ex. 4

Encontrar as equações das retas tangente e normal à curva y = x 2 - 2 x + 1 no ponto - 2,9 .

Passo 1

Vamos lá, temos que a equação da reta tangente é da forma:

y - y 0 = m x - x 0

E da reta normal é:

y - y 0 = m n x - x 0

Onde x 0 , y 0 são pontos da reta, m n = - 1 m e m é a derivada da curva aplicada no ponto pedido.

Passo 2

Vamos calcular f ' x para achar a inclinação da reta tangente:

f ' x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f x 1 ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ x + ∆ x 2 - 2 x + ∆ x + 1   - x 2 - 2 x + 1   ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ x 2 + 2 x ∆ x + ∆ x 2 - 2 x - 2 ∆ x + 1   - x 2 + 2 x - 1   ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x ∆ x + ∆ x 2 - 2 ∆ x     ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x + ∆ x - 2 = 2 x + 0 - 2 = 2 x - 2

Agora aplicado ao ponto:

f ' - 2 = 2 ⋅ - 2 - 2 = - 4 - 2 = - 6 = m

A nossa inclinação da reta normal então vai ser:

m n = - 1 m = - 1 - 6 = 1 6

Passo 3

Agora é só montar na equação com o ponto x 0 , y 0 = - 2,9 :

Da reta tangente:

y - y 0 = m x - x 0 → y - f - 2 = - 6 x - - 2 → y - 9 = - 6 x + 2 →

y = - 6 x - 12 + 9 → y = - 6 x - 3

Da reta normal:

y - y 0 = m n x - x 0 → y - f - 2 = 1 6 x - - 2 → y - 9 = 1 6 x + 2 →

y = x 6 + 2 6 + 9 → y = x 6 + 56 6

Resposta

Reta tangente: y = - 6 x - 3

Reta normal: y = x 6 + 56 6

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