Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.Exercícios práticos - Ex. 31
31. Bombeamento de um tanque cônico Um tanque cônico circular reto, apontado para baixo, cuja boca tem 5 pés de raio e 10 pés de altura, está cheio com um líquido cujo peso específico
é 60 lb/pé3. Quanto trabalho é necessário para bombear o líquido para um ponto 2 pés acima do tanque? Se a bomba é movida por um motor que trabalha a uma taxa de 275 pés-lb/s , quanto tempo ela levará para esvaziar o tanque?
Passo 1
Nós podemos desenhar a seção transversal de cone, em um plano cartesiano, para facilitar nossas contas:
A reta que a lateral do cone faz é igual a
Passo 2
Imagine que esse reservatório é igual a uma soma de vários clindros com altura infinitesimais, cada clindros tem um volume de:
Mas, nós conhecemos a reta da lateral do cone, a coordenada dessa reta é igual ao raio, para cada valor de altura temos um raio, então:
O peso desse pedacinho de volume é igual ao voluma vezes a densidade da líquido, :
Passo 3
Para nós levarmos esse peso até o topo vamos ter que fazer um poquinho de trabalho, podemos escrever assim:
A altura que cada pedaço de volume subiu vai ser igual a menos sua própria altura:
Então seu trabalho é igual a
Passo 4
Integrando essa equação, vamos descobrir o trabalho total necessário para bombear a água:
Passo 5
O tempo necessário para esvaziar o tanque é: