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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.Exercícios práticos - Ex. 37

37- Determine o centro de massa de uma placa fina e plana que abrange a região compreendida pela parábola y 2 = x e pela reta x = 2 y , se a função densidade for δ y = 1 + y . (Use faixas horizontais.)

Passo 1

Os gráficos se encontram nos seguintes valores de x .

y 2 = 2 y

O valor trivial seria y = 0 pois ambas as funções tem y sem nenhuma constante. Dividindo por y encontramos:

y = 2

Plotando a região temos.

Pela linha horizontal marcada no gráfico vemos que o comprimento dela tem tamanho de:

L = 2 y - y 2

E como sua largura vale d y , logo sua área vale:

d A = 2 y - y 2 d y

Sua massa então vale, a densidade vezes a área:

d m = δ 2 y - y 2 d y

Como δ = 1 + y , logo a massa vale:

d m = 1 + y 2 y - y 2 d y = - y 3 + 2 y 2 - y 2 + 2 y d y = - y 3 + y 2 + 2 y d y

O y médio por ser linha horizontal vale:

y m = y

E seu x médio:

x m = 2 y + y 2 2

Que é a média aritmética das duas funções .

Passo 2

Para calcular x - e y - . Temos que fazer.

x - = M y M = ∫ x m   d m ∫ d m                               y - = M x M = ∫ y m d m ∫ d m

Calculando M :

M = ∫ 0 2 - y 3 + y 2 + 2 y d y = - y 4 4 + y 3 3 + 2 y 2 2 0 2 = 8 3  

Calculando M y :

M y = ∫ 0 2 y - y 3 + y 2 + 2 y d y = ∫ 0 2 - y 4 + y 3 + 2 y 2 d y

M x = - y 5 5 + y 4 4 + 2 y 3 3 0 2 = - 32 5 + 16 4 + 16 3 = 44 15

Agora calculando M x :

M x = ∫ 0 2 1 2 2 y + y 2 - y 3 + y 2 + 2 y d y

M x = 1 2 ∫ 0 2 - 2 y 4 + 2 y 3 + 4 y 2 - y 5 + y 4 + 2 y 3 d y

M x = 1 2 ∫ 0 2 - y 5 - y 4 + 4 y 3 + 4 y 2 d y  

M x = 1 2 - y 6 6 - y 5 5 + y 4 + 4 y 3 3 0 2 = 1 2 - 2 6 6 - 2 5 5 + 2 4 + 4 3   2 3 = 4.8

Passo 3

Calculando y -   temos:

y - = M x M = 44 15 8 3 = 11 10

Calculando x - .

x - = M y M = 4.8 8 3 = 1.8

Resposta

Centro de massa:

x - , y - = 1.8 , 11 10

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