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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.5 - Ex. 31

31- Colocando um satélite em órbita

A força do campo gravitacional da Terra varia conforme a distância r do centro do planeta, e a magnitude da força gravitacional experimentada por um satélite de massa m , durante e após o lançamento, é:

F r = m M G r 2

Aqui M = 5.975 × 10 24 k g é a massa da Terra, G = 6.6720 × 10 - 11   N m 2 k g - 2 é a constante gravitacional universal, e r é medido em metros. O trabalho necessário para elevar um satélite de 1000 kg da superfície da Terra até uma órbita circular de 35.780 km acima da Terra é dada, portanto, pela integral

T r a b a l h o = ∫ 6370000 35780000 1000 M G r 2   d r   j o u l e s

Calcule a integral. O limite inferior de integração é o raio da Terra em metros no local do lançamento. (Esse cálculo não leva em consideração a energia gasta durante a elevação do veículo de lançamento ou a energia gasta para levar o satélite à velocidade de órbita.)

Passo 1

Só faltou cobrar o escanteio e cabecear para a gente. Bem... fazendo a integral de forma indefinida nós temos:

1000 M G ∫ 1 r 2 d r = 1000 M G ∫ r - 2 d r = 1000 M G - r - 1

Logo:

∫ 1000 m M G r 2 = - 1000 M G r

Passo 2

Aplicando os valores de M e de G e o intervalo de r nós teremos:

- 1000 × 5.975 × 10 24 × 6.6720 × 10 - 11 1 r 6370000 35780000

- 3.98652 × 10 17 × 1 35780000 - 1 6370000

O que nos dá um valor aproximado de:

5.144 × 10 10   J

Resposta

5.144 × 10 10   J

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