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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 31

31- Encontre valores das constantes k e m , se possível, que façam a função f ficar contínua em toda parte.

f ( x ) x 2 + 5 ,       x > 2 m x + 1 + k ,   - 1 < x ≤ 2 2 x 3 + x + 7 ,       x ≤ - 1

Passo 1

Galera, a primeira pergunta que temos que nos fazer é quais são as condições para que a função seja contínua em toda parte ?

Bom... No nosso caso, temos as seguintes condições:

1. lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 2 - ⁡ f ( x )

2.   lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ f ( x )

3. lim x → 2 ⁡ f ( x ) = f ( 2 )

4. lim x → 1 ⁡ f ( x ) = f ( 1 )

Passo 2

Pensou o mesmo que eu ?! Se nós atendermos a essas condições vamos conseguir achar os valores das constantes !

Então, vamos lá!

Atendendo a condição 1, temos que:

lim x → 2 + ⁡ x 2 +   5

lim x → 2 + ⁡ 2 2 +   5

lim x → 2 + ⁡ f x = 9

lim x → 2 - ⁡ m x + 1 + k

lim x → 2 - ⁡ m 2 + 1 + k

lim x → 2 - ⁡ f x = 3 m + k

Igualando os limites laterais, temos:

3 m + k = 9

Passo 3

Agora, vamos ver a condição 2:

lim x → - 1 + ⁡ m x + 1 + k

lim x → - 1 + ⁡ m - 1 + 1 + k

lim x → - 1 + ⁡ f x = k

lim x → - 1 + ⁡ 2 x 3 + x + 7

lim x → - 1 + ⁡ 2   - 1 3 - 1 + 7

lim x → - 1 + ⁡ f x = 4

Igualando os limites laterais, temos que:

k = 4

Passo 4

Galera, vocês perceberam o mesmo que eu ????

Nós nem vamos precisar checar as outras condições para achar as constantes, pois nós já temos o valor de k

Dessa forma, se substituirmos esse valor na equação que achamos no passo 2, temos que:

3 m + 4 = 9

3 m = 5

m = 5 3

Resposta

K = 4 e m = 5 3

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43-46 Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.45- Se uma função invertível f for contínua em toda parte, então sua inversa também é contínua em toda parte.
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