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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.6 - Ex. 28

17-40 Encontre os limites.

28. underset(x -> 0)(lim) (s e n 6 x)/(s e n 8 x)

Passo 1

Nossaaaaa.... A gente vendo isso desse jeito até se assusta. Mas vem comigo que vai dar certo.

Vamos começar dividindo o numerador e o denominador por 6 x . (Repare que nós não vamos alterar o valor da fração original).

underset(x -> 0)(lim) (s e n 6 x)/(s e n 8 x) = underset(x -> 0)(lim) ((s e n 6 x)/(6 x))/((s e n 8 x)/(6 x))

Passo 2

Agora, vamos usar aquela propriedade que diz que o limite do quociente é o quociente dos limites.

underset(x -> 0)(lim) ((s e n 6 x)/(6 x))/((s e n 8 x)/(6 x)) = (underset(x -> 0)(lim (sen 6 x)/(6 x)))/(underset(x -> 0)(lim) (sen 8 x)/(6 x))

Na parte de cima nós já sabemos calcular por aquele teorema. Então,

(underset(x -> 0)(lim (sen 6 x)/(6 x)))/(underset(x -> 0)(lim) (sen 8 x)/(6 x)) = (1)/(underset(x -> 0)(l i m) (s e n 8 x)/(6 x))

Passo 3

Nós podemos dividir o numerador e o denominador daquele limite por 8 x . Assim, obtemos

(1)/(underset(x -> 0)(l i m) (s e n 8 x)/(6 x)) = (1)/(underset(x -> 0)(l i m) ((s e n 8 x)/(8 x))/((6 x)/(8 x)))

Aplicando novamente a propriedade usada no passo anterior,

(1)/(underset(x -> 0)(l i m) ((s e n 8 x)/(8 x))/((6 x)/(8 x))) = (1)/((underset(x -> 0)(lim) (s e n 8 x)/(8 x))/(underset(x -> 0)(lim) (6 x)/(8 x)))

Passo 4

Agora ficou muuuuuito fácil.É só calcular aqueles dois limites ali debaixo.

underset(x -> 0)(lim) (s e n 8 x)/(8 x) = 1

underset(x -> 0)(lim) (6 x)/(8 x) = (6)/(8)

Assim,

(1)/((underset(x -> 0)(lim) (s e n 8 x)/(8 x))/(underset(x -> 0)(lim) (6 x)/(8 x))) = (1)/((1)/(6 // 8)) = (6)/(8)

Resposta

(6)/(8)

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