29-30 Encontre um valor para a constante k , se possível, que faça a função ficar contínua em toda parte.

30. (a) f x =   9 - x 2 ,         x ≥ - 3 k x 2 ,         x < - 3

(b) f x = 9 - x 2 ,         x ≥ 0 k x 2 ,         x < 0

Passo 1

Para fazermos a letra (a), devemos calcular os limite laterais e garantir que os resultados sejam iguais ao valor de x aplicado na função.

Assim,

lim x → - 3 - ⁡ k x 2

k lim x → - 3 - ⁡ 1 x 2

k lim x → - 3 - ⁡ 1 9 = k 9

lim x → - 3 + ⁡ 9 - x 2

lim x → - 3 + ⁡ 9 - 9

lim x → - 3 + ⁡ 0 = 0

E,

f - 3 = 9 - - 3 2 = 0

Agora, precisamos ter

lim x → - 3 - ⁡ k x 2 = lim x → - 3 + ⁡ 9 - x 2 = f - 3

Como lim x → - 3 + ⁡ 9 - x 2 = f - 3 = 0 , precisamos apenas que lim x → - 3 - ⁡ k x 2 = 0 .

Ou seja,

k 9 = 0

k = 0

Passo 2

Para fazermos a letra (b), devemos calcular os limite laterais e garantir que os resultados sejam iguais ao valor de x aplicado na função.

Assim, lim x → 0 + ⁡ 9 - x 2

lim x → 0 + ⁡ 9 - 0

lim x → 0 + ⁡ 9 = 9

lim x → 0 - ⁡ k x 2

k lim x → 0 - ⁡ 1 x 2

k lim x → 0 - ⁡ 1 0 - = - ∞

Como o segundo limite lateral deu - ∞ ,ou seja, não depende da constante k , não encontraremos nenhum valor para ela que torne a função contínua em toda parte.

Resposta

a ) k = 0

b)Não existe valor para a constante k que torne a função contínua em toda parte.

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