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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 4

4. Um tanque, com capacidade de 500 galões, contém originalmente 200 galões de água com uma solução de 100 libras de sal. Está entrando no tanque, a uma taxa de 3 galões por minuto, água contendo 1 libra de sal por galão, e permite-se que a mistura saia do tanque a uma taxa de 2 galões por minuto. Encontre a quantidade de sal no tanque em qualquer instante antes do momento em que a solução começa a transbordar. Encontre a concentração de sal (em libras por galão) no tanque no instante em que vai começar a transbordar. Compare essa concentração com a concentração limite teórica se o tanque tivesse capacidade infinita

Passo 1

Oiii, estamos chegando numa parte dos exercícios onde temos que traduzir o texto do enunciado em dados. Estamos trabalhando com um modelo de um tanque onde sai e entra água com concentrações diferentes. Na seção deste livro tem um modelo matemático para isso.

d M d t = T a x a   d e   E n t r a d a - T a x a   d e   S a i d a

d M d t = γ r - r * M V

Onde M é a massa do nosso material

d M d t é a variação dessa massa

γ é a concentração do material que entra

r   é a vazão de água que entra no tanque

r * é a vazão que sai do tanque

V é o volume do tanque.

Bastante coisa né, vamos devagar que essa questão é grande. Vamos encontrar os valores das nossas variáveis dentro do nosso enunciado

γ = 1 l b g a l

r = 3   g a l / m i n

r * = 2   g a l / m i n

Além disso nosso volume ele vai se alterando com o tempo. Podemos escrever uma expressão que diga o seguinte : pegamos o volume inicial e vamos adicionar a vazão que entra e subtrair a vazão que sai

V = 200 + r - r * t

V = 200 + 3 - 2 t

V = 200 + t

Beleza, então podemos pegar nossa equação de vazão do livro e dizer que ela com nossos dados fica do seguinte jeito

d M d t = γ r - r * M V

d M d t = 1 3 - 2 M 200 + t

d Q d t = 3 - 2 M 200 + t

Vamos deixar essa equação no formato canônico de equações lineares

M ' + 2 200 + t M = 3

Showww!!! Nossa função agora está bem mais tranquila. Vamos agora dar uma rápida revisada em como resolvemos equações lineares por método do Fator Integrante. Se você já está craque nisso pode pular o passo 2.

Passo 2

O método Do Fator Integrante consiste em um passo-a-passo. É bem simples depois que você pegar o jeito. Primeiro temos que deixar nossa função com a seguinte cara

y ' + p t y = q t

Onde a solução tem o seguinte formato

y = 1 I t ∫ I t   q t d t + C

Onde nossa função I t   é o nosso Fator Integrante e pode ser escrito como

I t = e ∫ P t d t

Belezinha? Vamos cair dentro então \o/

Passo 3

Então nossa equação é

M ' + 2 200 + t M = 3

Vamos calcular o fator integrante

I t = e ∫ P t d t

I t = e ∫ 2 200 + t d t

I t = e 2 ln ⁡ 200 + t

I t = 200 + t 2

Usamos uma propriedade de logaritmo para sumir tanto com o log tanto com a exponencial. Agora vamos calcular nossa Solução

M = 1 I t ∫ I t   q t d t + C

M = 1 200 + t 2 ∫ 200 + t 2 ⋅ 3   d t + C

M = 1 200 + t 2 3 ∫ 200 2 + 400 t + t 2 d t + C

M = 1 200 + t 2 3 200 2 t + 200 t 2 + t 3 3 + C

Podemos ajustar essa equação para ela ficar um pouco mais bonita

M = 120000 t + 600 t 2 + t 3 + C 200 + t 2

Conseguimos a parte mais difícil \o/

Passo 4

Agora que temos apenas que descobrir a constante arbitraria C. Para isso vamos usar os dados de contorno

M 0 = 100

Podemos agora aplicar esses dados na nossa equação

M = 120000 t + 600 t 2 + t 3 + C 200 + t 2

100 =   C 200 2

C = 4 ⋅ 10 6

Agora sim, terminamos de montar nossa equação

M t = 12 ⋅ 10 4 t + 600 t 2 + t 3 + 4 ⋅ 10 6 200 + t 2

Passo 5

Vamos descobrir o que o enunciado nos pede. Queremos descobrir a concentração com V = 500 . Então para que isso aconteça, teremos que saber em que instante estamos, podemos usar a seguinte equação la do início

V = 200 + t  

500 = 200 + t  

t   = 300   m i n

Perfeito, então podemos fazer agora

M t = 12 ⋅ 10 4 t + 600 t 2 + t 3 + 4 ⋅ 10 6 200 + t 2

M 300 = 12 ⋅ 10 4 ⋅ 300 + 600 300 2 + 300 3 + 4 ⋅ 10 6 200 + 300 2

M 300 = 484   l i b r a s

Mas o enunciado pediu a concentração! Ela vai ser dada por

Q = M 300 V 300 = 484 500 = 0,968   l i b r a / g a l ã o

Perfeito conseguimos \o/

Passo 6

Agora é o desafio. E se o tanque tivesse capacidade infinita? Bem nesse caso teríamos que ter um tempo infinito para encher esse tanque. Isso porque temos a seguinte equação para a capacidade do tanque

V = 200 + t

lim V → ∞ ⁡ V → lim t → ∞ ⁡ 200 + t  

Então agora que sabemos que temos que fazer um limite para t tendendo a infinito podemos montar uma equação para a nossa concentração

lim t → ∞ ⁡ Q t = lim t → ∞ ⁡ M t Q t = lim t → ∞ ⁡ 12 ⋅ 10 4 t + 600 t 2 + t 3 + 4 ⋅ 10 6 200 + t 2 200 + t

lim t → ∞ ⁡ 12 ⋅ 10 4 t + 600 t 2 + t 3 + 4 ⋅ 10 6 200 + t 3

Pra resolver esse limite vamos dividir em cima em baixo por t 3

lim t → ∞ ⁡ t 3 12 ⋅ 10 4 / t 2 + 600 / t + 1 + 4 ⋅ 10 6 / t 3 t 3 200 / t + 1 3

lim t → ∞ ⁡ 12 ⋅ 10 4 / t 2 + 600 / t + 1 + 4 ⋅ 10 6 / t 3 200 / t + 1 3 = 0 + 0 + 1 + 0 0 + 1 3 = 1

Logo a concentração seria 1   l i b r a / g a l ã o que é igualzinha à concentração de entrada!

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

M t = 12 ⋅ 10 4 t + 600 t 2 + t 3 + 4 ⋅ 10 6 200 + t 2

Q 300 = 0,968   l i b r a / g a l ã o

lim t → ∞ ⁡ M t Q t = 1

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