Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 31b
31-34. Use o Teorema 5.5.5 para calcular as integrais dadas.
31. b)
Passo 1
Então pessoal, antes de resolvermos a integral que nos foi dada vamos relembrar do que se trata o Teorema 5.5.5, tudo bem? Show! Ele nos diz o seguinte:
“Se for integrável em um intervalo fechado contendo os três pontos , então:
Não importando como os pontos estejam ordenados.”
Tendo isso em vista, agora vamos tentar aplicar essa ideia no nosso problema!
Passo 2
A integral que nos foi dada é a seguinte:
Esse módulo é um problema pra gente, então o que devemos fazer é retirá-lo assumindo algumas restrições, saca só:
Feito isso, agora sim podemos aplicar o Teorema 5.5.5 que enunciamos no passo 1. Utilizando-o, teremos:
Show!
Passo 3
Para ambas integrais o resultado é o mesmo, já que possuem integrandos idênticos. De acordo com o que estudamos em derivação, a função que quando derivada resulta em é a , certo? Logo, para a primeira integral:
E para a segunda integral:
Sendo assim, teremos:
Por fim, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, isto é, aplicando os limites de integração:
E está aí nosso resultado! 😉