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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 108

Ache o centroide da região no primeiro quadrante, limitada pelos eixos coordenados e pela curva y = cos ⁡ x .

Passo 1

A questão pede para acharmos o centroide da região do primeiro quadrante limitada pela curva y = cos ⁡ x e os eixos coordenados. Essa região é basicamente a região entre o eixo x e a curva y = cos ⁡ x entre x = 0 e x = π / 2 :

Note que nesse caso não temos nenhuma simetria significativa, então teremos que calcular as duas coordenadas do centro de massa na raça. Para isso, temos que lembrar que as coordenadas do centro de massa de uma região entre o eixo x e a curva y = f x são

x - = 1 A ∫ x   f ( x )   d x           e               y - = 1 A ∫ 1 2 f x 2   d x ,

onde A é a área da região:

A = ∫ f ( x )   d x

Neste caso, temos que f x = cos ⁡ x e os limites de integração vão de 0 até π / 2 .

Passo 2

Vamos calcular primeiro a área:

A = ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x   d x = s e n   x 0 π / 2 = 1 - 0 = 1

Portanto,

x - = 1 1 ∫ 0 π / 2 x cos ⁡ x   d x = ∫ 0 π / 2 x cos ⁡ x   d x

y - = 1 1 ∫ 0 π / 2 1 2 ⋅ cos 2 ⁡ x   d x = 1 2 ∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ x   d x

Passo 3

Para a coordenada x , vamos usar integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Tomando u = x e d v = cos ⁡ x   d x , temos que d u = d x e v = s e n   x :

x - = ∫ 0 π / 2 x cos ⁡ x   d x = x   s e n   x 0 π / 2 - ∫ 0 π / 2 s e n   x   d x

Assim,

x - = π 2 - 0 + cos ⁡ x 0 π 2 = π 2 + 0 - 1 = π 2 - 1

Já para a coordenada y vamos precisar lembrar que

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Assim,

y - = 1 2 ∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ x   d x = 1 4 ∫ 0 π / 2 1 + cos ⁡ 2 x   d x

Portanto,

y - = 1 4 x + 1 2 s e n   2 x 0 π 2 = 1 4 ⋅ π 2 = π 8

Desta forma, as coordenadas do centroide são:

π 2 - 1 , π 8

Resposta

π 2 - 1 , π 8

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