31-50. Calcule as integrais por qualquer método.

35. ∫ 1 3 x + 2 x 2 + 4 x + 7 d x

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar o método de substituição simples, ok? A nossa integral é:

∫ 1 3 x + 2 x 2 + 4 x + 7 d x

A substituição que iremos utilizar é:

u = x 2 + 4 x + 7

Encontrando a relação entre d x e d u para podermos substituir na nossa integral original:

d u = 2 x + 4 d x

d u = 2 x + 2 d x

∴ d u 2 = x + 2 d x

Beleza, encontramos u e d u , certo? Substituindo os resultados na nossa integral teremos:

∫ 1 3 x + 2 x 2 + 4 x + 7 d x = 1 2 ∫ 1 3 d u u 1 2

Show, agora que simplificamos ao máximo nossa integralzinha em termos de u , vamos resolver isso aí!

Passo 2

Antes de resolvermos a integral, vamos alterar os intervalos de integração utilizando a expressão u x que encontramos no passo anterior, se liga:

u = x 2 + 4 x + 7

u 3 = 3 2 + 4.3 + 7 = 28

u 1 = 1 2 + 4.1 + 7 = 12

Logo:

1 2 ∫ 1 3 d u u 1 2 = 1 2 ∫ 12 28 d u u 1 2

Passo 3

Ok, agora sim resolvendo nossa integral, teremos:

1 2 ∫ 12 28 d u u 1 2 = 1 2 . 2 u 1 2 28 1 2

1 2 ∫ 12 28 d u u 1 2 = u 1 2 28 12

Fazendo F b - F a , no qual a é o limite de integração inferior e b é o limite de integração superior, teremos:

1 2 ∫ 12 28 d u u 1 2 = 28 1 2 - 12 1 2

∴ ∫ 1 3 x + 2 x 2 + 4 x + 7 d x = 2 7 - 3

E esse é o nosso resultado, pessoal!

Resposta

∫ 1 3 x + 2 x 2 + 4 x + 7 d x = 2 7 - 3

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