Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 17
5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição na integral definida e, depois, com uma substituição na integral indefinida.
17.
Passo 1
Então galera, antes de calcularmos a integral que nos foi dada utilizando as duas maneiras citadas pelo enunciado, vamos relembrar rapidinho qual é a diferença entre elas, ok?
Substituir na integral definida significa calcular toda a integral em termos de , inclusive os os intervalos de integração são alterados a partir da relação entre e ;
Por outro lado, substituir na integral indefinida significa apenas utilizar essa substituição para calcular a integral e depois retornar à nossa variável original (que é no nosso caso) e sem alterar os limites de integração!
Beleza! Tendo em vista esses conceitos, então bora que bora!
Passo 2
A integral que nos foi dada é:
Vamos utilizar a seguinte substituição:
E disso também tiramos que:
Encontrando a relação entre e :
Substituindo na nossa integral, teremos:
Ok, espero que tenha feito sentido até aqui! Bora continuar!
Passo 3
Resolvendo da primeira maneira, isto é, substituindo na integral definida, teremos:
Aqui o que fizemos foi alterar os intervalos de integração utilizando a substituição que escolhemos no passo 2! Dessa forma, teremos:
Agora resolvendo da segunda maneira, isto é, voltando à nossa variável depois de resolver a integral, teremos:
Note que os resultados deram idênticos, como era para acontecer. E estão aí nossos resultados, pessoal!