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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 42

31-50. Calcule as integrais por qualquer método.

42. ∫ 0 π 6 t g   2 θ d θ

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar o método de substituição simples, ok? A nossa integral é:

∫ 0 π 6 t g   2 θ d θ = ∫ 0 π 6 s e n   2 θ cos ⁡ 2 θ d θ

A substituição que iremos utilizar é:

u = cos ⁡ 2 θ

Encontrando a relação entre d θ e d u para podermos substituir na nossa integral original:

d u = - 2 s e n   2 θ d θ

∴ - d u 2 = s e n   2 θ d θ

Beleza, encontramos u e d u , certo? Substituindo os resultados na nossa integral teremos:

∫ 0 π 6 s e n   2 θ cos ⁡ 2 θ d θ = - 1 2 ∫ 0 π 6 d u u

Show, agora que simplificamos ao máximo nossa integralzinha em termos de u , vamos resolver isso aí!

Passo 2

Antes de resolvermos a integral, vamos alterar os intervalos de integração utilizando a expressão u θ que encontramos no passo anterior, se liga:

u = cos ⁡ 2 θ

u π 6 = cos ⁡ 2 . π 6 = 1 2

u 0 = cos ⁡ 2.0 = 1

Logo:

- 1 2 ∫ 0 π 6 d u u = - 1 2 ∫ 1 1 2 d u u

Passo 3

Ok, agora sim resolvendo nossa integral, teremos:

- 1 2 ∫ 1 1 2 d u u = - 1 2 ln ⁡ u 1 2 1

Fazendo F b - F a , no qual a é o limite de integração inferior e b é o limite de integração superior, teremos:

- 1 2 ∫ 1 1 2 d u u = - 1 2 ln ⁡ 1 2 - ln ⁡ 1

∴ ∫ 0 π 6 t g   2 θ d θ = 1 2 ln ⁡ 2

E esse é o nosso resultado, pessoal!

Resposta

∫ 0 π 6 t g   2 θ d θ = 1 2 ln ⁡ 2

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