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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.10 - Ex. 3b

Calcule.

int (cos^2 x)/(sen^3 x) d x

Passo 1

Primeiro vamos fazer algumas manipulações na expressão, vamos usar que:

sen x = (2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2))

cos^2 x = 1 - sen^2 x

Assim:

int (cos^2 x)/(sen^3 x) d x = int (1 - sen^2 x)/(sen^3 x) d x = int (1 - ((2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2)))^2)/(((2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2)))^3) d x

Para resolver essa integral vamos tentar fazer uma Substituição agora, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = tg (x)/(2)

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = (1)/(2) sec^2 (x)/(2) d x -> d x = (2)/(sec^2 (x)/(2)) d u

Passo 2

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1 - ((2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2)))^2)/(((2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2)))^3) d x = int (1 - ((2 u)/(1 + u^2))^2)/(((2 u)/(1 + u^2))^3) * (2)/(sec^2 (x)/(2)) d u = int (2 (1 - ((2 u)/(1 + u^2))^2))/(sec^2 (x)/(2) ((2 u)/(1 + u^2))^3) d u = 2 int (1 - (4 u^2)/((1 + u^2)^2))/(sec^2 (x)/(2) ((8 u^3)/((1 + u^2)^3))) d u = 2 int (((1 + u^2)^2 - 4 u^2)/((1 + u^2)^2))/((1 + tg^2 (x)/(2)) ((8 u^3)/((1 + u^2)^3))) d u = 2 int (((1 + u^2)^2 - 4 u^2)/((1 + u^2)^2))/((1 + u^2) (8 u^3)/((1 + u^2)^3)) d u = 2 int ((1 + u^2)^2 - 4 u^2)/((1 + u^2)^2) (((1 + u^2)^3)/((1 + u^2) 8 u^3)) d u = 2 int (1 + 2 u^2 + u^4 - 4 u^2)/(8 u^3) d u = int (1 - 2 u^2 + u^4)/(4 u^3) d u = = int (1)/(4 u^3) - (2 u^2)/(4 u^3) + (u^4)/(4 u^3) d u = int (1)/(4 u^3) d u + int - (1)/(2 u) d u + int (u)/(4) d u = int (u^(- 3))/(4) d u - (1)/(2) ln |u| + (u^2)/(8) + C = - (1)/(8 u^2) - (1)/(2) ln |u| + (u^2)/(8) + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (cos^2 x)/(sen^3 x) d x = - (1)/(8 u^2) - (1)/(2) ln |u| + (u^2)/(8) + C = - (1)/(8 (tg (x)/(2))^2) - (1)/(2) ln |tg (x)/(2)| + ((tg (x)/(2))^2)/(8) + C

Resposta

int (cos^2 x)/(sen^3 x) d x = - (1)/(8 (tg (x)/(2))^2) - (1)/(2) ln |tg (x)/(2)| + ((tg (x)/(2))^2)/(8) + C

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