Calcule.

∫ cos 4 ⁡ x sen 4 ⁡ x d x

Passo 1

Primeiro vamos fazer algumas manipulações na expressão, vamos usar que:

∫ cos 4 ⁡ x sen 4 ⁡ x d x = ∫ cot g 4 ⁡ x d x

Para resolver essa integral vamos aplicar a redução de integrais, vamos lá:

∫ cot g n ⁡ x d x = - cot g n - 1 ⁡ x n - 1 - ∫ cot g n - 2 ⁡ x d x

Passo 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ cot g 4 ⁡ x d x = - cot g 4 - 1 ⁡ x 4 - 1 - ∫ cot g 4 - 2 ⁡ x d x = - cot g 3 ⁡ x 3 - ∫ cot g 2 ⁡ x d x

Para calcular a integral que apareceu vamos usar a seguinte identidade trigonométrica:

c o s e c 2 ⁡ x = 1 + cot g 2 ⁡ x → cot g 2 ⁡ x = c o s e c 2 ⁡ x - 1

Assim:

∫ cot g 2 ⁡ x d x = ∫ c o s e c 2 ⁡ x - 1 d x = ∫ c o s e c 2 ⁡ x d x + ∫ - 1 d x = - cot g ⁡ x - x

Passo 3

Agora é só juntar tudo e pronto:

∫ cot g 4 ⁡ x d x = - cot g 3 ⁡ x 3 - ∫ cot g 2 ⁡ x d x = - cot g 3 ⁡ x 3 - - cot g ⁡ x - x + C = - cot g 3 ⁡ x 3 + cot g ⁡ x + x + C

Resposta

∫ cot g 4 ⁡ x d x = - cot g 3 ⁡ x 3 + cot g ⁡ x + x + C

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