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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.10 - Ex. 3c

Calcule.

int (cos^4 x)/(sen^4 x) d x

Passo 1

Primeiro vamos fazer algumas manipulações na expressão, vamos usar que:

int (cos^4 x)/(sen^4 x) d x = int cot g^4 x d x

Para resolver essa integral vamos aplicar a redução de integrais, vamos lá:

int cot g^n x d x = - (cot g^(n - 1) x)/(n - 1) - int cot g^(n - 2) x d x

Passo 2

Fazendo a substituição ficamos com:

int cot g^4 x d x = - (cot g^(4 - 1) x)/(4 - 1) - int cot g^(4 - 2) x d x = - (cot g^3 x)/(3) - int cot g^2 x d x

Para calcular a integral que apareceu vamos usar a seguinte identidade trigonométrica:

c o s e c^2 x = 1 + cot g^2 x -> cot g^2 x = c o s e c^2 x - 1

Assim:

int cot g^2 x d x = int c o s e c^2 x - 1 d x = int c o s e c^2 x d x + int - 1 d x = - cot g x - x

Passo 3

Agora é só juntar tudo e pronto:

int cot g^4 x d x = - (cot g^3 x)/(3) - int cot g^2 x d x = - (cot g^3 x)/(3) - (- cot g x - x) + C = - (cot g^3 x)/(3) + cot g x + x + C

Resposta

int cot g^4 x d x = - (cot g^3 x)/(3) + cot g x + x + C

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