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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 34

Calcule a integral definida:

int_0^1 (x^((3)/(2)))/(x + 1) d x

Passo 1

Pessoal, podemos resolver essa integral definida de duas formas, resolvendo a indefinida e no final a definida, ou ir resolvendo no meio do caminho trocando os limites de integração. Vamos resolver a indefinida e depois a definida, ok?

Para resolver essa integral, vamos começar fazendo a substituição sqrt(x) = u , então (1)/(2 sqrt(x)) d x = d u -> d x = 2 sqrt(x) d u = 2 u d u .

int (x^((3)/(2)))/(x + 1) d x = int (u^3)/(u^2 + 1) 2 u d u = 2 int (u^4)/(u^2 + 1) d u

Passo 2

Perceba que, no integrando, o polinômio do numerador tem o grau maior do que o do denominador e, por isso, devemos fazer uma divisão de polinômios utilizando o algoritmo de Euclides e obter o seguinte:

(u^4)/(u^2 + 1) = u^2 + (1)/(u^2 + 1) - 1

Dessa forma,

2 int (u^4)/(u^2 + 1) d u = 2 int (u^2 + (1)/(u^2 + 1) - 1) d u = (2 u^3)/(3) - 2 u + 2 tan^(- 1) u + C

Lembre-se que (tan^(- 1) u) ' = (1)/(u^2 + 1) .

Passo 3

Agora vamos voltar na variável x para resolver a integral definida.

int (x^((3)/(2)))/(x + 1) = (2 u^3)/(3) - u + tan^(- 1) u + C = (2 (sqrt(x))^3)/(3) - 2 sqrt(x) + 2 tan^(- 1) sqrt(x) + C

Passo 4

Agora vamos resolver a definida. Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

int_0^1 (x^((3)/(2)))/(x + 1) d x = (((2 (sqrt(x))^3)/(3) - 2 sqrt(x) + 2 tan^(- 1) sqrt(x))|_0^1

= ((2 (sqrt(1))^3)/(3) - 2 sqrt(1) + 2 tan^(- 1) sqrt(1)) - ((2 (sqrt(0))^3)/(3) - 2 sqrt(0) + 2 tan^(- 1) sqrt(0))

int_0^1 (x^((3)/(2)))/(x + 1) d x = (2)/(3) - 2 + 2 underset((pi)/(4))(ubrace tan^(- 1) 1) = - (4)/(3) + (2 pi)/(4) = (6 pi - 16)/(12) = (3 pi - 8)/(6)

Resposta

int_0^1 (x^((3)/(2)))/(x + 1) d x = (3 pi - 8)/(6)

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