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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 36

No exercício a seguir calcule a integral definida.

∫ 16 18 1 x   - x 3 4  

Passo 1

Essa integral de começo parece bem feia, mas gente... a gente sabe que até a mais difícil sai resolvendo com calma, e sem vacilar, beleza? Vamo cair pra cima dela!

Primeiro vamos aplicar uma propriedade da linearidade, multiplicando ela por -1, so pra dar uma melhorada nos cálculos.

∫ 16 18 1 x   - x 3 4 = - ∫ 16 18 1 x 3 4 - x    

Agora vamos resolver nossa integral primeiramente substituindo por “u du”.

∫     1 x 3 4 - x  

Substituindo:

u = x   4

d u d x = 1 4 x 3 4

x = u 2

x 3 4 = u 3

Ficando assim:

4 ∫     u u - 1 d u

Passo 2

Agora vamos resolver a nossa integral substituindo denovo:

Vamos substituir:

v = u - 1

d v d u = 1

d u = d v

Nossa integral então fica:

∫     v + 1 v d v = ∫     1 v + 1 d v = ∫     1 v d v   +   ∫     1   d v

Passo 3

Essas a gente sabe resolver hein galera? Bem facinhas. Para a primeira, temos que:

∫     1 v d v =   l n ⁡ ( v )

Para a segunda, temos que:

∫     1   d v = v

Logo, temos que:

∫     1 v d v   +   ∫     1   d v = ln ⁡ v + v

Entretanto, quem é nosso v?

v = u - 1

ln ⁡ v + v = u + ln ⁡ u - 1 - 1

Passo 4

Portanto, sabemos que:

4 ∫     u u - 1 d u = 4 u + 4 ln ⁡ u - 1 - 4

Mas quem é nosso u?

u = x 4

Portanto:

4 x 4 + 4 ln ⁡ x 4 - 1 - 4

Mas não vamos nos esquecer, isso tudo é pra :

4 ∫     u u - 1 d u

Mas isso tudo é válido pra nossa função multiplicada por -1, portanto:

∫     1 x 3 4 - x   = - 4 x 4 - 4 ln ⁡ x 4 - 1 + 4

Passo 5

Agora vamos aplicar os limites:

∫     1 x 3 4 - x   = - 4 x 4 - 4 ln ⁡ x 4 - 1 + 4

∫ 16 18 1 x   - x 3 4 = - 4 ln ⁡ 2 4 3 - 1 - 2 9 4 3 + 8

Logo, nossa integral é igual a:

0.471265

Resposta

∫ 16 18 1 x   - x 3 4 = 0.471265

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Deduza a Fórmula (6) de integração.
Encontre uma função f tal que a inclinação da reta tangente em um ponto ( x , y ) da curva y = f ( x ) é 3 x + 1 , e a curva passa pelo ponto ( 0,1 ) .
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Calcule a integral ∫ 5 x - 1 2 d x por dois métodos: primeiro elevando ao quadrado e integrando e depois fazendo u = 5 x - 1 .Explique por que as duas respostas aparentemente diferentes são equivalent