Calcule a integral indefinida:

∫ d x 2 sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x + 3

Passo 1

Pessoal, para resolver essa integral, vamos lembrar o seguinte: Se um integrando for uma função racional de sen ⁡ x e cos ⁡ x , ele poderá ser reduzido a uma função racional de z pela substituição x = tan ⁡ x 2 e temos um teorema na seção que diz, que, nesse caso,

sen ⁡ x = 2 z 1 + z 2               cos ⁡ x = 1 - z 2 1 + z 2                 tan ⁡ x = 2 z 1 - z 2             d x = 2 d z 1 + z 2

Vamos aplicar o teorema acima com as fórmulas na nossa questão. Fazendo a substituição z = tan ⁡ x 2 e desenvolvendo a expressão, temos:

∫ d x 2 sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x + 3 = ∫ 2 d z 1 + z 2 2 2 z 1 + z 2 + 2 1 - z 2 1 + z 2 + 3 = ∫ 2 d z 4 z + 2 ( 1 - z 2 ) + 3 ( 1 + z 2 )

∫ 2 d z 4 z + 2 - 2 z 2 + 3 + 3 z 2 = ∫ 2 d z z 2 + 4 z + 5

Passo 2

Para resolver a integral acima, vamos ter que completar quadrados no denominador da seguinte forma:

z 2 + 4 z + 5 = z 2 + 4 z + 4 + 1 = z + 2 2 + 1

Ficamos então com:

∫ 2 d z z 2 + 4 z + 5 = ∫ 2 d z z + 2 2 + 1 = 2 ∫ d z z + 2 2 + 1

Passo 3

Pessoal, devemos lembrar que tan - 1 ⁡ ( z + 2 ) ´ = 1 z + 2 2 + 1 , sendo assim:

2 ∫ d z z + 2 2 + 1 = 2 tan - 1 ⁡ ( z + 2 ) + C

Prontinho!

Passo 4

Como a integral inicial foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável também. Então, vamos ficar com:

∫ d x 2 sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x + 3 = 2 tan - 1 ⁡ ( z + 2 ) + C = 2 tan - 1 ⁡ tan ⁡ x 2 + 2 + C

Lembre-se que z = tan ⁡ x 2 .

Resposta

∫ d x 2 sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x + 3 = 2 tan - 1 ⁡ tan ⁡ x 2 + 2 + C

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