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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 29

Calcule a integral indefinida:

int (d x)/(2 sen x + 2 cos x + 3)

Passo 1

Pessoal, para resolver essa integral, vamos lembrar o seguinte: Se um integrando for uma função racional de sen x e cos x , ele poderá ser reduzido a uma função racional de z pela substituição x = tan ((x)/(2)) e temos um teorema na seção que diz, que, nesse caso,

sen x = (2 z)/(1 + z^2) cos x = (1 - z^2)/(1 + z^2) tan x = (2 z)/(1 - z^2) d x = (2 d z)/(1 + z^2)

Vamos aplicar o teorema acima com as fórmulas na nossa questão. Fazendo a substituição z = tan ((x)/(2)) e desenvolvendo a expressão, temos:

int (d x)/(2 sen x + 2 cos x + 3) = int ((2 d z)/(1 + z^2))/(2 (2 z)/(1 + z^2) + 2 (1 - z^2)/(1 + z^2) + 3) = int (2 d z)/(4 z + 2 ( 1 - z^2 ) + 3 ( 1 + z^2 ))

int (2 d z)/(4 z + 2 - 2 z^2 + 3 + 3 z^2) = int (2 d z)/(z^2 + 4 z + 5)

Passo 2

Para resolver a integral acima, vamos ter que completar quadrados no denominador da seguinte forma:

z^2 + 4 z + 5 = z^2 + 4 z + 4 + 1 = (z + 2)^2 + 1

Ficamos então com:

int (2 d z)/(z^2 + 4 z + 5) = int (2 d z)/((z + 2)^2 + 1) = 2 int (d z)/((z + 2)^2 + 1)

Passo 3

Pessoal, devemos lembrar que (tan^(- 1) ( z + 2 )) ´ = (1)/((z + 2)^2 + 1) , sendo assim:

2 int (d z)/((z + 2)^2 + 1) = 2 tan^(- 1) ( z + 2 ) + C

Prontinho!

Passo 4

Como a integral inicial foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável também. Então, vamos ficar com:

int (d x)/(2 sen x + 2 cos x + 3) = 2 tan^(- 1) ( z + 2 ) + C = 2 tan^(- 1) (tan ((x)/(2)) + 2) + C

Lembre-se que z = tan ((x)/(2)) .

Resposta

int (d x)/(2 sen x + 2 cos x + 3) = 2 tan^(- 1) (tan ((x)/(2)) + 2) + C

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