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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.10 - Ex. 2f

f) int c o s s e c^n (x) c o s s e c (x) c o t g (x) d x = - (c o s s e c^(n + 1) (x))/(n + 1) + k , n != - 1 *

Passo 1

Olá, pessoal! Esse tipo de questão costuma assustar a primeira vista, mas vamos com calma que a gente consegue resolver fazendo uma substituição simples!

O grande lance aqui é a gente lembrar com a derivada de cossecante,

(c o s s e c (x)) ' = c o s s e c (x) c o t g (x)

Agora a gente já consegue fazer a nossa substituição.

beleza?! Vamos lá!

Passo 2

Vamos olhar para a nossa integral,

I = int c o s s e c^n (x) c o s s e c (x) c o t g (x) d x

Vamos chamar,

u = c o s s e c (x)

Logo,

d u = c o s s e c (x) c o t g (x) d x

Substituindo na integral,

int u^n d u = (u^(n + 1))/(n + 1) + k , n != - 1

Agora é só voltar para variável x , fazendo u = c o s s e c (x) :

int c o s s e c^n (x) c o s s e c (x) c o t g (x) d x = - (c o s s e c^(n + 1) (x))/(n + 1) + k , n != - 1 *

Onde, k é a nossa constante de integração.

Então essa expressão é a verdadeira!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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