f) ∫ c o s s e c n x c o s s e c x c o t g x d x = - c o s s e c n + 1 x n + 1 + k ,   n ≠ - 1 ⋅

Passo 1

Olá, pessoal! Esse tipo de questão costuma assustar a primeira vista, mas vamos com calma que a gente consegue resolver fazendo uma substituição simples!

O grande lance aqui é a gente lembrar com a derivada de cossecante,

c o s s e c x ' = c o s s e c x c o t g x

Agora a gente já consegue fazer a nossa substituição.

beleza?! Vamos lá!

Passo 2

Vamos olhar para a nossa integral,

I = ∫ c o s s e c n x c o s s e c x c o t g x d x

Vamos chamar,

u = c o s s e c x

Logo,

d u = c o s s e c x c o t g x d x

Substituindo na integral,

∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + k ,   n ≠ - 1

Agora é só voltar para variável x , fazendo   u = c o s s e c x :

∫ c o s s e c n x c o s s e c x c o t g x d x = - c o s s e c n + 1 x n + 1 + k ,   n ≠ - 1 ⋅

Onde, k é a nossa constante de integração.

Então essa expressão é a verdadeira!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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