33) A lei dos gases para um gás ideal à temperatura absoluta T ( em kelvins), pressão P (em atmosferas) e volume V (em litros) é P V = n R T , em que n é o número de mols de gás e R = 0,0821 é uma constante do gás. Suponha que, em um certo instante, P = 8 atm. e está crescendo a uma taxa de 0,10 atm/min e V = 10 L. e está decrescendo a uma taxa de 0,15 L/min. Encontre a taxa de variação de T em relação ao tempo naquele instante, se n = 10 mols.

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 37

33) A lei dos gases para um gás ideal à temperatura absoluta ( em kelvins), pressão (em atmosferas) e volume (em litros) é , em que é o número de mols de gás e é uma constante do gás. Suponha que, em um certo instante, atm. e está crescendo a uma taxa de atm/min e L. e está decrescendo a uma taxa de L/min. Encontre a taxa de variação de em relação ao tempo naquele instante, se mols.

Passo 1

Opa, bora resolver esse exercício!

O enunciado pede para encontrar a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo em um determinado instante, dadas as condições específicas do sistema.

Mais precisamente, queremos determinar como a temperatura do gás ideal está mudando com o tempo nesse ponto específico, enquanto a pressão e o volume do gás também estão mudando.

Para resolver esse problema, utilizamos a equação dos gases ideais onde é a pressão, é o volume, é o número de mols de gás, é a constante dos gases e é a temperatura absoluta.

A partir dessa equação, derivamos em relação ao tempo para obter uma equação que relaciona as taxas de variação de em relação ao tempo.

Em seguida, substituímos os valores conhecidos (pressão, volume, taxas de variação de pressão e volume, número de mols e constante dos gases) na equação derivada para encontrar a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo no instante específico dado.

Essa taxa nos indica como a temperatura está mudando naquele ponto no tempo, considerando as mudanças simultâneas na pressão e no volume do gás.

Sendo assim, vamos correlaciona-la e isola-la na equação dada:

Passo 2

Lembrando que e são fixos vamos derivar a equação em função do tempo():

Aplicando a regra do produto temos:

Passo 3

Agora é só substituir pelo que foi dado no enunciado sem esquecer que pelo volume estar decrescendo, sua taxa de variação () é negativa:

(Kelvins/min)

Logo, a temperatura naquele instante decresce (por causa do sinal negativo) a uma razão de Kelvins por minuto!

Resposta

A temperatura naquele instante decresce (por causa do sinal negativo) a uma razão de Kelvins por minuto.

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