Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 38
Em uma fazenda de piscicultura, uma população de peixes é colocada dentro de um pequeno lago e removida regulamente. Um modelo para a taxa de variação da população é dado pela equação
na qual é a taxa de nascimento dos peixes; , a população máxima que o pequeno lago pode manter (ou seja, sua capacidade de suporte); e , a porcentagem da população que é removida.
(a) Qual o valor de que corresponde à população estável?
(b) Se o pequeno lago pode manter peixes, a taxa de nascimento é de e a taxa de colheita, , encontre o nível estável da população.
(c) O que acontece se for aumentada para ?
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema foi dada a função que representa a variação da população de peixes em um lago
Onde é a taxa de nascimento dos peixes, é a capacidade máxima de peixes no lago, a porcentagem que é removida e é a polulação de peixes.
A partir dessa função temos que determinar o valor de que corresponde à população estável. Tambem temos que determinar o nível estável da população quando , e e depois repetimos os cálculos para .
Parece complicado?
Nesse caso, basicamente, para responder o que a questão pede, temos que lembrar de algumas propriedades de derivadas e substituir os valores dados na função para descobrir correspondentes.
Bora lá!
Passo 2
Primeiro vamos determinar o valor de para que a população fique estável...
A população permanece estável quando não cresce nem decresce, ou seja, não varia, sua população permanece constante.
Se a população () é uma função constante, sua derivada em função do tempo é nula. Logo, a população estável corresponde à
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Para responder o próximo item vamos relembrar o que a questão nos deu.
Se o pequeno lago pode manter , então: ;
Se a taxa de nascimento é de , então: ;
Se a taxa de colheita é de , então: ;
Se a população está estável, então: ;
Pede-se o nível da população para que essa condição seja possível, ou seja, o tamanho da população de peixes nessa circunstância.
Para solucionar esse problema basta resolver a equação com os dados fornecidos:
Como a população não é nula, podemos dividir a equação por obtendo:
Isolando em um lado...
(Peixes)
Show?
Passo 4
Como no item b, as condições são as mesmas, mas agora . Agora é só calcular:
A única solução neste caso é zero, isso significa que independente do tempo, essa população não se estabilizará, a não ser e claro que essa população seja reduzida a nada, o que não é viável.
E aí! entendeu tudo? Responde Aí!
Resposta
(a)
(b) (Peixes)
(c) . A única solução neste caso é zero, isso significa que independente do tempo, essa população não se estabilizará, a não ser e claro que essa população seja reduzida a nada, o que não é viável.