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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 39

Encontre a menor distancia do ponto 2,0 , - 3 ao plano x + y + z = 1 .

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver essa atividade juntinhos!

Aqui a gente precisa determinar qual ponto do plano:

x + y + z = 1

Está mais próximo do ponto:

2,0 , - 3

Para resolver essa questão, devemos encontrar a distância entre o ponto e o plano em função dos eixos.

Depois com a equação do plano, isolar um dos eixos e substituir na equação acima.

Calcularemos as derivadas parciais e as igualaremos a 0 para descobrirmos qual ou quais são os pontos críticos.

A partir do teste da segunda derivada conseguiremos saber se é um ponto de máximo de mínimo ou de sela.

Escolheremos o que está de acordo com o enunciado e substituindo na primeira equação encontrada você conseguirá encontrar a distância.

Passo 2

Vamos começar encontrando a distancia entre o ponto 2,0 , - 3 e um ponto x , y , z qualquer:

d x , y , z =   x - 2 2 + y 2 + z - - 3 ²

Elevando ambos os lados ao quadrado:

d ² = x - 4 2 + y - 2 2 + z ²

Por conta do nosso plano, temos que:

x + y + z = 1

Então substituindo na equação da distancia:

d ² = x - 4 2 + y - 2 2 + 1 - x - y - - 3 ²

d 2 = x - 2 2 + y 2 + 4 - x - y 2

Agora iremos derivar essa equação para encontrarmos os pontos críticos, aqui a gente precisa derivar utilizando a regra da cadeia:

d x = 2 x + y - 6 x - 2 2 + y 2 + 4 - x - y 2

d y = x + 2 y - 6 x - 2 2 + y 2 + 4 - x - y 2

Resolvendo o sistema acima encontramos:

0 = x + 2 y - 6 x - 2 2 + y 2 + 4 - x - y 2

E

0 = 2 x + y - 6 x - 2 2 + y 2 + 4 - x - y 2

Teremos então duas equações:

x + 2 y - 6 = 0

E

2 x + y - 6 = 0

Resolvendo esse sistema a gente tem como nosso ponto critico:

8 3 , 2 3

Passo 3

O que a gente vai fazer então é utilizar o valor desse ponto critico na função da distancia, e ncontrar qual o valor da distancia é a menor:

d 2 = x - 2 2 + y 2 + 4 - x - y 2

d 8 3 , 2 3 = 2 - 8 3 2 + 2 3 2 + 4 - 8 3 - 2 3 2

Temos então que:

d 8 3 , 2 3 = 2 3

Resposta

d 8 3 , 2 3 = 2 3

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