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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.Exercícios práticos - Ex. 36

35. Determine o centroide de uma placa fina e plana que abrange a região "triangular" no primeiro quadrante, limitada pelo eixo y , pela parábola y = x 2 / 4 e pela reta y = 4 .

Passo 1

Desenhando essa parábola, vamos ver que essa área vai ficar dessa forma:

Como não foi falado nada da densidade, vamos considerar ela constante, sendo assim o centroide é igual ao centro de massa:

Aqui vamos ter que calular o centro de massa de x e de y

Para calcular o centro de massa, vamos usar as faixas de massa horizontais, que tem o centro de massa em:

x ~ , y ~ = x 1 x + x 2 x 2 , y

x ~ , y ~ = 2 y + y 2 2 , y

O tamanho dessas faixas vão ser:

2 y - y 2

Se multplicarmos o comprimento das faixas por um d x , vamos obter o elemento de área dessas faixas:

d A = 2 y - y 2 d y

Multiiplicando pela densidade, temos o elemento infinitesimal de massa:

d m = δ ⋅ d A

d m = δ ⋅ 2 y - y 2 d y

Passo 2

Agora de que temos y ~ e d m podemos calcular o momento em x , M x :

M x = ∫ y ~ d m

Podemos ver no gráfico que y vai de 0 até 2, ou seja, esses são os limites de integração:

M x = ∫ 0 2 y ⋅ δ 2 y - y 2 d y

M x = δ ∫ 0 2 2 y 2 - y 3 d y

M x = δ 2 y 3 3 - y 4 4 0 2

M x = δ 2 2 3 3 - 2 4 4

M x = δ 16 3 - 16 4

M x = 16 δ 12

M x = 4 δ 3

Passo 3

Como também temos x ~ e d m podemos calcular o momento em y , M y :

M y = ∫ x ~ d m

M y = ∫ 0 2 2 y + y 2 2 ⋅ δ 2 y - y 2 d y

M y = δ 2 ∫ 0 2 4 y 2 - y 4 d y

M y = δ 2 4 y 3 3 - y 5 5 0 2

M y = δ 2 4 2 3 3 - 2 5 5

M y = δ 2 32 3 - 32 5

M y = 32 δ 15

Passo 4

Para conseguirmos calcular o centro de massa só nos resta saber

M = ∫ d m

M = ∫ 0 2 δ 2 y - y 2 d y

M = δ ∫ 0 2 2 y - y 2 d y

M = δ y 2 - y 3 3 0 2

M = δ 2 2 - 2 3 3

M = δ 4 - 8 3

M = 4 δ 3

Passo 5

Agora temos tudo o que precisamos para calcular o centro de massa em y :

y - = M x M

y - = 4 δ 3 4 δ 3

y - = 1

E também em x :

x - = M y M

x - = 32 δ 15 4 δ 3

x - = 32 δ 15 ⋅ 3 4 δ

x - = 8 5

Resposta

( x - , y - ) = 8 5 , 1

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