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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 6.1 - Ex. 11

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

y = x 2 ,         y 2 = x

Passo 1

A área da região limitada pelas curvas é da seguinte forma:

A = ∫ a b f x - g x d x

Aqui temos o esboço da região, fazemos atribuindo pontos nas curvas:

Fica mais fácil calcular a integral em relação a x , assim vamos ficar com f x = x , que é a curva mais a cima, e g x = x 2 , que é a curva mais a baixo, e os limites de integração são x = 0 e x = 1 , os pontos de intersecção das curvas, e aqui temos o desenho do retângulo aproximante típico:

Vamos agora achar a área:

A = ∫ 0 1 x - x 2 d x = ∫ 0 1 x   d x + ∫ 0 1 - x 2 d x = ∫ 0 1 x 1 2   d x + ∫ 0 1 - x 2 d x

Passo 2

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

∫ k d x = k x + C

Agora é só aplicar:

∫ x 1 2 d x + ∫ - x 2 d x = ∫ x 1 2 d x - ∫ x 2 d x = x 1 2 + 1 1 2 + 1 - x 2 + 1 2 + 1 + C = x 3 2 3 2 - x 3 3 + C = 2 x 3 2 3 - x 3 3 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

A = ∫ 0 1 x - x 2 d x = 2 x 3 2 3 - x 3 3 0 1 = 2 . 1 3 2 3 - 1 3 3 - 2 . 0 3 2 3 - 0 3 3 = 2 3 - 1 3 = 1 3

Resposta

A = 1 3

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