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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.4 - Ex. 35

35. A partir da série de Fourier da onda quadrada no Exemplo 1 da Seção 10.3, mostre que

π 4 = 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + … = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1

Essa relação entre π e os inteiros positivos ímpares foi descoberta por Leibniz em 1674.

Passo 1

Fala galera!!!

Queremos mostrar nessa questão que

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 = π 4

Para isso vamos usar a onda quadrada do exemplo 1 da seção 10.3.

Passo 2

Para resolver essa questão, vamos olhar para o exemplo 1 da seção 10.3. No resultado do exemplo foi dito que a função

f x = 0 L                 - L < x < 0 0 < x < L

Pode ser escrito como a seguinte série de Fourier:

f x = L 2 + 2 L π ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 2 n - 1 π x L 2 n - 1

Passo 3

Temos que a relação necessária é independente de  L  e  x , portanto, podemos escolher valores para eles. Assim, seja  L = 2  e x = 1 , então pela definição de  f x segue  f 1 = 2 . Assim, substituindo na série de Fourier, temos:

2 = 2 2 + 2 ⋅ 2 π ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 2 n - 1 π 2 2 n - 1

2 = 1 + 4 π ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 2 n - 1 π 2 2 n - 1

1 = 4 π ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 2 n - 1 π 2 2 n - 1

π 4 = ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 2 n - 1 π 2 2 n - 1

Agora, podemos substituir n por n + 1 para que o somatório comece a partir de zero. Assim temos:

π 4 = ∑ n + 1 = 1 ∞ sen ⁡ 2 n + 1 - 1 π 2 2 n + 1 - 1

π 4 = ∑ n = 0 ∞ sen ⁡ 2 n + 1 π 2 2 n + 1

Podemos dizer que sen ⁡ 2 n + 1 π 2 = - 1 n para todo n . Substituindo, temos:

π 4 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1

Com isso, provamos a relação entre π e os inteiros positivos ímpares.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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36. A partir da série de Fourier para a onda triangular (Exemplo 1 da Seção 10.2), mostre que π 8 2 = 1 + 1 3 2 + 1 5 2 + … = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 2
37. Suponha que f tem uma série de Fourier em senos f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L 0 ≤ x ≤ L (a) Mostre, formalmente, que 2 L ∫ 0 L f x 2 d x = ∑ n = 1 ∞ b n 2 Compare esse resultado (equação de Pa
40. (a) Como se deve estender f, definida originalmente em 0 ,L , de modo a se obter uma série de Fourier envolvendo apenas as funções cos ⁡ π x / 2 L , cos ⁡ 3 π x / 2 L , cos ⁡ 5 π x / 2 L , … ? Vej
39. Estenda primeiro f a L ,2 L de modo que seja simétrica em relação à reta x = L . Então f satisfaz f 2 L - x = f x para 0 ≤ xL . Estenda a função resultante a - 2 L ,0 como ímpar e ao resto da reta