37. Suponha que tem uma série de Fourier em senos

(a) Mostre, formalmente, que

Compare esse resultado (equação de Parseval) com o resultado do Problema 17 na Seção 10.3.

Qual será o resultado correspondente se tiver uma série em cossenos?

(b) Aplique o resultado do item (a) à série da função dente de serra dada pela Eq. (9), mostrando, assim, que

Essa relação foi descoberta por Euler em torno de 1735.

Para fazer isso, podemos começar multiplicando para primeira relação dada. Assim temos:

Integrando a dos dois lados de a em relação a , temos o seguinte:

Mas temos que pode ser expresso da seguinte maneira:

Substituindo na relação encontrada acima, temos:

Com isso, provamos o que foi pedido.

No problema 17 na Seção 10.3, foi dado o seguinte:

Podemos fazer a seguinte modificação na identidade de Parseval.

Comparando a equação acima com o resultado obtido anteriormente, temos o seguinte:

Temos que se   tiver uma série em cossenos, isto é:

Agora, multiplicando a relação acima por , temos:

Integrando a dos dois lados de a em relação a , temos o seguinte:

Mas temos que pode ser expresso da seguinte maneira:

Substituindo na relação encontrada acima, temos:

Assim, o resultado correspondente se tiver uma série em cossenos é dado pela relação acima.

(b) Temos que a equação periódica de período que representa a função dente de serra é a seguinte:

E temos também que a serie de Fourier que representa a função acima é a seguinte:

Se compararmos com a relação

Vamos perceber que

Com o encontrado acima, vamos usar a relação abaixo para encontra à relação desejada.

Substituindo e , temos:

Assim, mostramos a relação descoberta por Euler.