40. (a) Como se deve estender f, definida originalmente em , de modo a se obter uma série de Fourier envolvendo apenas as funções , , , ? Veja os Problemas 38 e 39.

(b) Se para , esboce a função para a qual essa série de Fourier converge para .

Podemos observe que as funções são simétricas em relação a . Portanto, temos o seguinte:

Portanto, se for estendido para como uma função antissimétrica em torno de , isto é,  para  , então

Isso decorre do fato de que a integral de uma função antissimétrica em torno de . Portanto, agora podemos estender a função para obter

Finalmente, podemos estender a função resultante para como uma função par e, em seguida, como uma função periódica de período . Assim, por construção, a série de Fourier conterá apenas termos de cosseno. Então, primeiro notamos que:

Para , temos o seguinte:

Para a segunda integral, seja . Então nós temos

e, portanto, temos

Portanto, sabemos que

Segue-se imediatamente que a  para ,

Assim, a representação da série de Fourier associada é a seguinte:

Em que a série converge quase em toda parte em e, portanto, em . 

(b) Para a série encontrada acima em que para , o gráfico da função para a qual essa série de Fourier converge para é o seguinte: