Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 35
35. Velocidade de escape. A força de atração gravitacional exercida pela Lua sem ar sobre um corpo de massa a uma distância do centro da Lua é dada pela equação a seguir: , onde é a aceleração da gravidade na superfície da Lua e é o raio da Lua (veja a figura a segir). A força é negativa, pois age no sentido em que decresce.
a. Suponha que o corpo seja lançado verticalmente para cima a partir da superfície da Lua com velocidade inicial em . Use a segunda lei de Newton, , para mostrar que a velocidade do corpo na posição é dada pela equação:
Logo, a velocidade se mantém positiva, desde que . A velocidade é a velocidade de escape da Lua. Um corpo lançado para cima com essa velocidade ou com uma maior escapará da atração gravitacional da Lua.
b. Mostre que, se , então:
Passo 1
a) Utilizando a segunda lei de Newton, teremos o seguinte, galera:
Mas o que seria essa aceleração em termos de derivadas/diferenciais? Acredito que você concordará comigo que é isso aqui ó:
Passo 2
Pelo enunciado, a força exercida pela Lua sobre um corpo de massa é dada pela equação:
Igualando essa equação com a do passo 1, teremos:
Como queremos descobrir uma expressão para , então o que temos que fazer é resolver essa equação diferencial! Essa equação aqui não tem muito segredo, uma vez que se trata de uma equação de variáveis separadas, ou seja, basta integrar ambos os membros da equação.
Resolvendo essas integrais, teremos:
Passo 3
Agora que encontramos uma expressão para , surge apenas um probleminha, que é descobrir quem é a constante . O enunciado nos diz que em a velocidade é . Ademais, temos que . Utilizando esses dados, teremos:
Substituindo na nossa equação, teremos:
C.Q.D.
Passo 4
b) Como queremos demonstrar uma equação de distância , então vamos utilizar a equação de velocidade que escrevemos lá no passo 1, saca só:
O que nos resta fazer é resolver essa equação diferencial, galera. Como se trata de uma equação diferencial de variáveis separadas, então basta integrar ambos os lados da equação, se liga:
Resolvendo as integrais, teremos:
Passo 5
Como o enunciado nos informa que e , teremos o seguinte:
Substituindo esse valor de na nossa expressão, teremos:
Colocando os termos semelhantes em evidência e fazendo as devidas simplificações, teremos:
Como , segundo o enunciado, então temos que:
C.Q.D.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)