35-36. Encontre os valores de x (se existirem) nos quais f não é contínua e determine se cada um desses valores é uma descontinuidade removível.

35. (a) f(x) = |x| / x

(b) f(x) = (x^2 + 3x) / (x + 3)

(c) f(x) = (x - 2) / (|x| - 2)

Passo 1

Para resolvermos o item (a), vamos começar entendendo a função. Se trata de uma função racional. Portanto, no ponto onde o denominador se anula ela não está definida. Nesse caso, para x = 0 .

Agora, vamos calcular os limites laterais:

lim x → 0 - ⁡ x x

lim x → 0 - ⁡ - x x = - 1

lim x → 0 + ⁡ x x

lim x → 0 + ⁡ x x = 1

Perceba que os limites laterais deram valores diferentes; portanto, o limite não existe quando x → 0 . Assim, x = 0 é ponto de descontinuidade, mas não é ponto de descontinuidade removível por definição.

Passo 2

Para resolvermos o item (b), vamos começar entendendo a função. Se trata de uma função racional. Portanto, no ponto onde o denominador se anula ela não está definida. Nesse caso, para x = - 3 .

Agora, vamos calcular o limite quando x → - 3 :

lim x → - 3 ⁡ x 2 + 3 x x + 3

lim x → - 3 ⁡ x x + 3 x + 3 = - 3

Como o limite quando x → - 3 existe e a função não está definida nesse ponto, se trata,portanto, de um ponto descontinuidade removível.

Passo 3

Para resolvermos o item (c), vamos começar entendendo a função. Se trata de uma função racional. Portanto, no ponto onde o denominador se anula ela não está definida. Nesse caso, quando   x - 2 = 0 ; ou seja, para x = ± 2

Agora, vamos calcular o limite quando x → 2 :

lim x → 2 ⁡ x - 2 x - 2

lim x → 2 ⁡ x - 2 x - 2 = 1

Como o limite quando x → 2 existe e a função não está definida nesse ponto, se trata,portanto, de um ponto descontinuidade removível.

Calculando o limite quando x → - 2 :

lim x → - 2 ⁡ x - 2 x - 2

lim x → - 2 ⁡ x - 2 - x - 2 = - 4 0 = ∞

Como o limite quando x → - 2 não existe, x = - 2 é ponto de descontinuidade, mas não é ponto de descontinuidade removível por definição.

Resposta

  1. x = 0 ;   não removível
  2. x = - 3 ; removível
  3. x = 2 ; removível

x = - 2 ; não removível

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