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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 43

37-48. Calcule a integral.

43. int sqrt(3 - 2 x - x^2) d x

Passo 1

Então pessoal, a integral que nos foi dada é muito complicada de se resolver da maneira que está, então o que devemos fazer é completar o quadrado da função que está dentro da raíz, a fim de facilitar nossa vida, ok? Completando o quadrado, teremos:

3 - 2 x - x^2 = - (x^2 + 2 x) + 4 - 1

3 - 2 x - x^2 = 4 - (x + 1)^2

Substituindo na nossa integral:

int sqrt(3 - 2 x - x^2) d x = int sqrt(4 - (x + 1)^2) d x

Agora sim conseguimos resolver!

Passo 2

Para resolver essa “nova” integral que encontramos, vamos utilizar uma substituição trigonométrica do tipo:

x = a . sin theta

Pois a raíz que aparece pra gente é do tipo:

sqrt(a^2 - x^2)

Show! A raíz que nos foi dada é sqrt(4 - (x + 1)^2) , então se compararmos com a raíz acima teremos os seguintes valores:

x + 1 = 2 . sin theta

E disso tiramos que:

d x = 2 . cos theta d theta

Substituindo esses valores na nossa integral, teremos:

int sqrt(4 - (x + 1)^2) d x = int sqrt(4 - (2 . sin theta)^2) 2 . cos theta d theta

Simplificando:

int sqrt(4 (1 - sin^2 theta)) 2 . cos theta d theta = 4 int cos^2 theta d theta

Show, demos uma simplificada na nossa integral. Agora sim ficou interessante!

Passo 3

Aqui vamos substituir o cos^2 theta por uma relação da trigonometria, pessoal! A relação é essa aqui ó:

cos^2 theta = (1)/(2) (1 + cos 2 theta)

Substituindo esse resultado na nossa integral, teremos:

4 int cos^2 theta d theta = 4 int (1)/(2) (1 + cos 2 theta) d theta = 2 int (1 + cos 2 theta) d theta

E disso temos:

2 int (1 + cos 2 theta) d theta = 2 int d theta + 2 int cos 2 theta d theta

A primeira integral é de boa resolvermos, né? Para a segunda vamos fazer uma substituição simples, se liga:

u = 2 theta

d u = 2 d theta

Substituindo na integral:

int cos u d u = sin u + C

Voltando à variável theta :

sin u + C = sin 2 theta + C

Passo 4

Agora para a primeira integral, temos:

2 int d theta = 2 theta + C

Somando o resultado das duas integrais, teremos:

2 int d theta + 2 int cos 2 theta d theta = sin 2 theta + 2 theta + C_1

Da substituição trigonométrica feita no início da resolução, temos a seguinte relação:

sin 2 theta = 2 . sin theta . cos theta = 2 . ((x + 1))/(2) . (sqrt(4 - (x + 1)^2))/(2)

:. sin 2 theta = ((x + 1))/(2) . sqrt(4 - (x + 1)^2)

E para theta :

2 theta = 2 . a r c sin ((x + 1)/(2))

Logo, nosso resultado final é:

int sqrt(3 - 2 x - x^2) d x = ((x + 1))/(2) . sqrt(4 - (x + 1)^2) + 2 . a r c sin ((x + 1)/(2)) + C_1

E é isso, pessoal! 😉

Resposta

int sqrt(3 - 2 x - x^2) d x = ((x + 1))/(2) . sqrt(4 - (x + 1)^2) + 2 . a r c sin ((x + 1)/(2)) + C_1

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