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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 21

Nos Exercícios de 15-34, use qualquer método para calcular as integrais. A maioria exigirá substituições trigonométricas, mas algumas podem ser calculadas por outros métodos.

21.

∫ 100 36 + 25 x 2 d x    

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral.

Vamos usar essa imagem de referência para os casos onde serão necessárias substituições trigonométricas.

Esse caso se encaixa no caso I.

Passo 2

Vamos usar a substituição onde

u = 6 5 x d u = 6 5 d x

E aí nossa integral fica

10 0 ∫ 1 36 + 25 x 2 5 d x = 10 0 ∫ 1 6 2 + ( 5 x ) 2 d x = 10 0 ∫ d u 30 ( 1 + u 2 )

Passo 3

Agora vamos resolver essa integral utilizando a substituição

u = t g   v d u = 1 c o s 2 v d v

Então

100 30 ∫ d u ( 1 + t g   2 v ) = 10 3 ∫ d u ( 1 + s e n 2 v c o s 2 v ) = 10 3   ∫ d v c o s 2 v + s e n 2 v c o s 2 v ⋅ c o s 2 v = 10 3 ∫ d v = 10 3     v

Mas u = t g   v ,   então v = a r c t g   u

Passo 4

Mas u = 6 5 x        

10 3 a r c t g   u = 10 3 a r c t g 6 5 x

Resposta

10 3 a r c t g 6 5 x

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