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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 25

Nos Exercícios de 15-34, use qualquer método para calcular as integrais. A maioria exigirá substituições trigonométricas, mas algumas podem ser calculadas por outros métodos.

25.

∫ d x ( x 2 - 1 ) 3 2     ,     x > 1

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral.

Vamos usar essa imagem de referência para os casos onde serão necessárias substituições trigonométricas.

Esse caso se encaixa no caso III.

Passo 2

Vamos usar a substituição onde

x = s e c   u d x = sec ⁡ u   t g   u   d u

Lembrando também a relação trigonométrica

s e c 2 ѳ - 1 = t g 2 ѳ

Então

( x 2 - 1 ) 3 2 = ( s e c 2 u - 1 ) 3 2 = t g 3 u

E aí nossa integral fica

∫ d x ( x 2 - 1 ) 3 2     = ∫ sec ⁡ u   t g   u   d u t g 3 u =   ∫ cos ⁡ u s e n 2 u d u

Passo 3

Agora vamos resolver essa integral

∫ cos ⁡ u s e n 2 u d u Vamos usar a substituição

v = sen ⁡ u d v = c o s   u   d u

Então ficaremos com

∫ cos ⁡ u s e n 2 u d u = ∫ 1 v 2 d v = - 1 v + C

Isso nos dá

- 1 v + C = - 1 s e n   u + C

Passo 4

Mas x = s e c   u    

E s e n 2 u = 1 - 1 s e c 2 u , então s e n 2 u = 1 - 1 x 2

Logo

s e n   u = 1 - 1 x 2 = x 2 - 1 x

Logo

- 1 s e n   u + C = - x x 2 - 1 + C

Resposta

- x x 2 - 1 + C

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