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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 19

Nos Exercícios de 15-34, use qualquer método para calcular as integrais. A maioria exigirá substituições trigonométricas, mas algumas podem ser calculadas por outros métodos.

19.

∫ 8 d w w 2 4 - w 2    

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral.

Vamos usar essa imagem de referência para os casos onde serão necessárias substituições trigonométricas.

Esse caso se encaixa no caso II.

Passo 2

Nessa integral podemos usar a substituição trigonométrica onde

w = 2   s e n   u d w = 2 cos ⁡ u d u

Vamos usar também a relação trigonométrica onde

1 - s e n 2 ѳ = c o s 2 ѳ

E aí podemos dizer que

4 - w 2 = 4 - 4 s e n 2 u = 2 cos ⁡ u

E assim nossa integral fica

∫ 8 d w w 2 4 - w 2     = 8 ∫ 1 4 s e n 2 u ⋅ 2 cos ⁡ u   2 cos ⁡ u d u = 2 ∫ 1 s e n 2 u d u

Passo 3

Agora vamos resolver essa integral

2 ∫ 1 s e n 2 u d u Vamos usar a substituição

v = cot ⁡ u d v = - 1 s e n 2 u   d u

Então ficaremos com

2 ∫ 1 s e n 2 u d u = - 2 ∫ d v = - 2 v + C

Isso nos dá

- 2 v + C = - 2 cot ⁡ u + C

Passo 4

Mas w = 2   s e n   u         e 4 - w 2 = 2 cos ⁡ u

Então cot ⁡ u = 2 cos ⁡ u 2   s e n   u = 4 - w 2 w      

Logo

- 2 cot ⁡ u + C = - 2 4 - w 2 w     + C

Resposta

- 2 4 - w 2 w     + C

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