Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 34
Encontre o comprimento da curva de .
Passo 1
Então galera, de acordo com a seção 6.4 do Anton, vimos que parar calcularmos o comprimento de uma curva plana, devemos encontrar:
No qual e são os intervalos dados pelo enunciado e é a curva em questão! De início, temos que nossa função é:
Então nossa derivada, ou seja, será:
Então nossa integral será:
Passo 2
Ok, agora que encontramos a integral que temos que resolver, mãos a obra! Como aparece uma raíz do tipo no nosso numerador, então vamos utilizar a seguinte substituição trigonométrica, saca só:
Disso tiramos que:
Substituindo os novos valores na nossa integral, teremos:
Como , então podemos fazer:
Show, simplificamos bastante nossa integral, gente!
Passo 3
Utilizando a mesma substituição do passo anterior, teremos:
Disso podemos separar duas integrais:
A primeira integral é uma integral tabelada no qual seu resultado é:
A segunda integral tem como resultado:
Juntando as duas integrais, teremos:
Passo 4
Beleza, resolvemos nossa integral, galera! No entanto, chegamos em um resultado em termos de , mas queremos em termos de ! Da substituição trigonométrica que fizemos no passo 1, conseguimos tirar o seguinte:
Substituindo, teremos:
E esse é o nosso comprimento, pessoal!