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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 34

Encontre o comprimento da curva y = x^2 de x = 0 a x = 1 .

Passo 1

Então galera, de acordo com a seção 6.4 do Anton, vimos que parar calcularmos o comprimento de uma curva plana, devemos encontrar:

L = int_a^b sqrt(1 + (f^' (x))^2) d x

No qual a e b são os intervalos dados pelo enunciado e f ( x ) é a curva em questão! De início, temos que nossa função é:

f (x) = x^2

Então nossa derivada, ou seja, f^' (x) será:

f^' (x) = 2 x

Então nossa integral será:

L = int_0^1 sqrt(1 + (2 x)^2) d x

Passo 2

Ok, agora que encontramos a integral que temos que resolver, mãos a obra! Como aparece uma raíz do tipo sqrt(a^2 + x^2) no nosso numerador, então vamos utilizar a seguinte substituição trigonométrica, saca só:

2 x = a . tan theta

Disso tiramos que:

x = (1)/(2) tan theta

d x = (1)/(2) sec^2 theta d theta

Substituindo os novos valores na nossa integral, teremos:

int_0^1 sqrt(1 + (2 x)^2) d x = (1)/(2) int_0^1 sqrt(1 + tan^2 theta) sec^2 theta d theta

Como sec^2 theta = tan^2 theta + 1 , então podemos fazer:

(1)/(2) int_0^1 sqrt(1 + tan^2 theta) sec^2 theta d theta = (1)/(2) int_0^1 sec^3 theta d theta

Show, simplificamos bastante nossa integral, gente!

Passo 3

Utilizando a mesma substituição do passo anterior, teremos:

(1)/(2) int_0^1 sec^3 theta d theta = (1)/(2) int_0^1 (1 + tan^2 theta) . sec theta d theta

Disso podemos separar duas integrais:

(1)/(2) int_0^1 (1 + tan^2 theta) . sec theta d theta = (1)/(2) int_0^1 sec theta d theta + (1)/(2) int_0^1 (tan^2 theta) . sec theta d theta

A primeira integral é uma integral tabelada no qual seu resultado é:

(1)/(2) int_0^1 sec theta d theta = (1)/(2) (ln |sec theta + tan theta|) (1)/(0)

A segunda integral tem como resultado:

(1)/(2) int_0^1 (tan^2 theta) . sec theta d theta = (1)/(4) (sec theta . tan theta - ln |sec theta + tan theta|) (1)/(0)

Juntando as duas integrais, teremos:

(1)/(2) int_0^1 sec theta d theta + (1)/(2) int_0^1 (tan^2 theta) . sec theta d theta = ((1)/(4) sec theta . tan theta + (1)/(4) ln |sec theta + tan theta|) (1)/(0)

Passo 4

Beleza, resolvemos nossa integral, galera! No entanto, chegamos em um resultado em termos de theta , mas queremos em termos de x ! Da substituição trigonométrica que fizemos no passo 1, conseguimos tirar o seguinte:

sec theta = sqrt(1 + (2 x)^2)

tan theta = 2 x

Substituindo, teremos:

((1)/(4) sqrt(1 + (2 x)^2) . 2 x + (1)/(4) ln |sqrt(1 + (2 x)^2) + 2 x|) (1)/(0)

:. L = int_0^1 sqrt(1 + (2 x)^2) d x = ((sqrt(5))/(2) + (1)/(4) ln |sqrt(5) + 2|) u . c

E esse é o nosso comprimento, pessoal!

Resposta

L = ((sqrt(5))/(2) + (1)/(4) ln |sqrt(5) + 2|) u . c

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