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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 47

37-48. Calcule a integral.

47. int_1^2 (d x)/(sqrt(4 x - x^2))

Passo 1

Então pessoal, a integral que nos foi dada é muito complicada de se resolver da maneira que está, então o que devemos fazer é completar quadrado no denominador, a fim de facilitar nossa vida, ok? Completando o quadrado, teremos:

4 x - x^2 = - (x^2 - 4 x)

- (x^2 - 4 x) = - (x^2 - 4 x + 4 - 4)

4 x - x^2 = - (x - 2)^2 + 4

Substituindo na nossa integral:

int_1^2 (d x)/(sqrt(4 x - x^2)) = int_1^2 (d x)/(sqrt(4 - (x - 2)^2))

Agora sim conseguimos resolver!

Passo 2

Para resolver a integral vamos utilizar uma substituição simples, saca só:

u = x - 2

Disso tiramos que:

d u = d x

Substituindo, teremos:

int_1^2 (d x)/(sqrt(4 - (x - 2)^2)) = int_1^2 (d u)/(sqrt(4 - u^2))

E como vimos na seção 4, essa é uma integral tabelada e seu resultado é:

int_1^2 (d u)/(sqrt(4 - u^2)) = [a r c sin (u)/(a)] (2)/(1)

Como u = x - 2 e a = 2 , então:

[a r c sin (u)/(a)] (2)/(1) = [a r c sin (x - 2)/(2)] (2)/(1) = (pi)/(6)

:. int_1^2 (d x)/(sqrt(4 x - x^2)) = (pi)/(6)

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

int_1^2 (d x)/(sqrt(4 x - x^2)) = (pi)/(6)

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