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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 31

Nos Exercícios de 15-34, use qualquer método para calcular as integrais. A maioria exigirá substituições trigonométricas, mas algumas podem ser calculadas por outros métodos.

31.

∫ x 3 d x x 2 - 1

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral.

Vamos usar essa imagem de referência para os casos onde serão necessárias substituições trigonométricas.

Esse caso se encaixa no caso III.

Passo 2

Nesse caso nem precisamos fazer uma substituição trigonométrica, apenas precisamos fazer a substituição

u = x 2 - 1 d u = 2 x d x

∫ x 3 d x x 2 - 1 = ∫ x + x x 2 - 1 d x = ∫ x d x + ∫ x x 2 - 1 d x = ∫ x d x + ∫ 1 2 ⋅ 1 u d u

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral

∫ x d x = x 2 2 + C

Agora a segunda integral

1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ⋅ ln ⁡ u + C

Nossa integral fica

∫ x 3 d x x 2 - 1 = x 2 2 + 1 2 ⋅ ln ⁡ u + C

Passo 4

Mas u = x 2 - 1

Então

x 2 2 + 1 2 ⋅ ln ⁡ u + C = 1 2 x 2 + ln ⁡ x 2 - 1 + C

Resposta

1 2 x 2 + ln ⁡ x 2 - 1 + C

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