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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 39

37-50 Use qualquer método para encontrar os extremos da função f .

39- f x = x 3 x + 1 2

Passo 1

Gente, eu sei que é meio chatinho mas vamos abrir essa tranqueira pra derivada ficar mais fácil.

Assim,

f x = x 3 x 2 + 2 x + 1 = x 5 + 2 x 4 + x 3

Pronto! Podemos derivar a função:

f ´ x = 5 x 4 + 8 x 3 + 3 x 2

Agora, vamos derivar novamente:

f ´ ´ x = 20 x 3 + 24 x 2 + 6 x

Pronto, já temos as duas derivadas. Fácil né ?!

Passo 2

Vamos determinar os pontos críticos igualando f ´ ( x ) a zero. Assim, temos:

5 x 4 + 8 x 3 + 3 x 2 = 0

x 2 5 x 2 + 8 x + 3 = 0

x = 0

Ou

5 x 2 + 8 x + 3 = 0

x = - 3 5 e x = - 1

-Para x = 0 , temos:

f 0 = 0

-Para x = - 1 , temos:

f - 1 = 0

-Para x = - 3 5 , temos:

f - 3 5 = - 108 3125

O próximo passo é saber se f ´ ´ x 0 > 0 , f ´ ´ x 0 < 0 ou f ´ ´ x 0 = 0 . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.

Passo 3

-Para x = 0 , temos:

f ´ ´ 0 = 0

Isso quer dizer que o teste da segunda derivada é inconclusivo.

E agora ??? Bom, como esse teste deu inconclusivo, vamos usar o teste da primeira derivada. Então, vamos verificar o comportamento de f ´ ( x ) nos seguintes intervalos:

x < 0 e x > 0

Para isso vamos testar dois pontos na função, um a direita e outro a esquerda do zero.

f ´ - 2 = 28

f ´ 1 = 16

Isso quer dizer que antes e depois do zero a função tem o mesmo sinal.

Caraaaaa, como f ´ ( x ) tem o mesmo sinal tanto a esquerda quanto a direita do x 0 , f ( x ) não tem extremo relativo nesse ponto.

-Para x = - 1 , temos:

f ´ ´ - 1 = - 2

Isso quer dizer que o ponto ( - 1 , 0 ) é um máximo relativo.

-Para x = - 3 5 , temos:

f ´ ´ - 3 5 = 9,36

Isso quer dizer que o ponto ( - 3 5 , - 108 3125 ) é um mínimo relativo.

Resposta

( - 1,0 ) máximo relativo.

( - 3 5 , - 108 3125 ) mínimo relativo.

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Em cada parte, esboce o gráfico de uma função continua f com as propriedades indicadas no intervalo [ 0,10 ] f tem mínimo e máximo absolutos em x = 0 e x = 10 , respectivamente
Em cada parte, esboce o gráfico de uma função continua f com as propriedades indicadas no intervalo [ 0,10 ] f tem mínimos relativos em x = 1 e x = 8 , máximos relativos em x = 3 e x = 7 e mínimo e má
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos, se houver, nos intervalos dados e indique onde esses valores ocorrem.22. f x = 3 - 4 x - 2 x 2 ; ( - ∞ , + ∞ )
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f nos intervalos fechados dados e indique onde ocorrem esses valores7. f x = 4 x 2 - 12 x + 10 ; [ 1,2 ]
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta19. Se uma função f tiver um valor mínimo absoluto em ( a , b ) então f sera um ponto critico em ( a , b )