Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 34
33-36 Encontre os extremos relativos usando os testes da derivada primeira e da derivada segunda.
34.
Passo 1
Vamos lembrar que, para usar o teste da segunda derivada, a primeira coisa a fazer é encontrar os pontos críticos da nossa função. E sabemos que para ser ponto crítico deve satisfazer, pelo menos, uma das seguintes condições:
-
- não é diferenciável em
Por se tratar de uma função polinomial, ela é diferenciável para x.
Passo 2
Agora, vamos derivar a nossa função e igualá-la a zero. Assim, vamos ter
ou
Portanto, os nossos pontos críticos são 0 e 9.
Passo 3
Bem, o próximo passo é derivar mais vez a nossa função.
Daí, vamos obter
Agora simmmm!!!! Estamos prontos para usar o teste da segunda derivada.
Passo 4
Olha só, vamos substituir os pontos críticos que encontramos em .
Logo, o teste é inconclusivo. Mas nós podemos usar o teste da primeira derivada para determinar se esse ponto é máximo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.
Nós precisamos saber como se comporta antes e depois do zero. Para isso, vamos testar dois pontos, um maior que zero, outro menor que zero.
Para teremos
Para , vamos ter
Como tem o mesmo sinal antes e depois do zero, concluímos que não tem extremo relativo nesse ponto.
Bem, agora precisamos aplicar o teste da segunda derivada em
Assim, vemos que tem um mínimo relativo em Substituindo na , obtemos o ponto de coordenada