Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 38
37-50 Use qualquer método para encontrar os extremos relativos da função
38.
Passo 1
Galera,para qualquer métodos que nós escolhermos, vamos ter que calcular os pontos críticos da nossa função. Então vamos começar lembrando quais são as condições necessárias para ser ponto crítico:
-
- não é diferenciável em
Perceba que a nossa função é diferenciável para todo já que é um polinômio.
Passo 2
Agora, o que nos resta é igualar a nossa função a zero. Assim, vamos ter
Caramba !!!! Olha essa equação aí em cima. Você deve estar se perguntando: e agora??? Calma, querido. Vem comigo que vai dar certo.
Que tal usarmos o dispositivo de Briot-Ruffini ???Parece ser uma ótima ideia. No entanto, nós precisamos conhecer ao menos uma raiz do nosso polinômio para utilizar o método. O que não é um problema. Perceba que Assim, é raiz do polinômio.
Agora simmmm !!!!
Agora, podemos facilmente encontrar as outras duas raízes do nosso polinômio resolvendo a equação de segundo grau
Assim, vemos que 4 é uma raiz de multiplicidade algébrica 2 do nosso polinômio.
Daí, segue os nossos pontos críticos são 4 e 1.
Passo 3
Nós já achamos os nossos pontos críticos. O próximo passo é aplicar o teste da segunda derivada. Para isso, precisaremos derivar mais uma vez a nossa função.
Logo, 1 é mínimo local.
Para avaliar o 4 vamos usar o teste da primeira derivada. Para isso, precisaremos estudar o sinal de
antes e depois do quatro.
Como
e
Portanto, 4 é mínimo local.