37-50 Use qualquer método para encontrar os extremos relativos da função f.

38. f(x) = x * (x - 4)^3

Passo 1

Galera,para qualquer métodos que nós escolhermos, vamos ter que calcular os pontos críticos da nossa função. Então vamos começar lembrando quais são as condições necessárias para x 0 ser ponto crítico:

- f ' x 0 = 0

-   f não é diferenciável em x 0 .

Perceba que a nossa função f ' x é diferenciável para todo x , já que f   é um polinômio.

Passo 2

Agora, o que nos resta é igualar a nossa função a zero. Assim, vamos ter

f x = x x 3 - 12 x 2 + 48 x - 64

f x = x 4 - 12 x 3 + 48 x 2 - 64 x

f ' x = 4 x 3 - 36 x 2 + 96 x - 64

4 x 3 - 36 x 2 + 96 x - 64 = 0

Caramba !!!! Olha essa equação aí em cima. Você deve estar se perguntando: e agora??? Calma, querido. Vem comigo que vai dar certo.

Que tal usarmos o dispositivo de Briot-Ruffini ???Parece ser uma ótima ideia. No entanto, nós precisamos conhecer ao menos uma raiz do nosso polinômio para utilizar o método. O que não é um problema. Perceba que f ' 1 = 0 . Assim, 1 é raiz do polinômio.

Agora simmmm !!!!

4 x 3 - 36 x 2 + 96 x - 64 = x - 1 4 x 2 - 32 x + 64

Agora, podemos facilmente encontrar as outras duas raízes do nosso polinômio resolvendo a equação de segundo grau

4 x 2 - 32 x + 64 = 0

x 2 - 8 x + 16 = 0

x - 4 x - 4 = 0

Assim, vemos que 4 é uma raiz de multiplicidade algébrica 2 do nosso polinômio.

Daí, segue os nossos pontos críticos são 4 e 1.

Passo 3

Nós já achamos os nossos pontos críticos. O próximo passo é aplicar o teste da segunda derivada. Para isso, precisaremos derivar mais uma vez a nossa função.

f " ( x ) = 12 x 2 - 72 x + 96

f " ( 1 ) = - 60 + 96 = 36 > 0

Logo, 1 é mínimo local.

Para avaliar o 4 vamos usar o teste da primeira derivada. Para isso, precisaremos estudar o sinal de

4 x 3 - 36 x 2 + 96 x - 64

antes e depois do quatro.

Como

f ' 0 = - 64 < 0

e

f ' 5 = 500 - 900 + 480 - 64 = 16 > 0

Portanto, 4 é mínimo local.

Resposta

1   e   4   s ã o   m í n i m o s   l o c a i s .

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