Um recipiente de base quadrada, lados verticais e aberto em cima deve ser feito de de material. Encontre as dimensões do recipiente com maior volume.

Temos que a área total de material deve somar 90 metros quadrados. E a área total vai ser dada pela área da base somada com a área das 4 laterais.

Temos pra área da base :

E pra área das 4 laterais, , todas idênticas:

A expressão pra área total do recipiente é o somatório dessas duas expressões, que resulta em 90:

Agora vamos isolar dessa expressão de , pra podermos substituir na equação do volume e obtermos o volume em função apenas de . Teremos:

Reescrevemos a expressão do volume com essa sentença pra , e teremos pra :

Agora vamos derivar a função, igualar a derivada a zero e assim determinar os pontos críticos. Entre eles, os pontos de máximo e de mínimo. Aqui, nos interessa o ponto de máximo, que vai maximizar o volume.

Derivando:

Igualando a zero:

Nesse caso, só nos interessa o valor pois é um comprimento e não pode ter valor negativo. Esse será nosso ponto de máximo, logo, a dimensão que faz o recipiente ter o maior volume possível.

Precisamos ainda de , que obtemos facilmente com a expressão que já temos: