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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.10 - Ex. 22

Determine se a equação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

∫ 2 x 1 + x 2 d x = ∫ 1 1 + x 2 1 t d t + C

Passo 1

Para determinar se a equação é verdadeira ou não, podemos resolver a integral dos dois lados e ver se os resultados batem:

∫ 2 x 1 + x 2 d x = ∫ 1 1 + x 2 1 t d t + C

Então, vamos resolver a integral da direita primeiro:

∫ 2 x 1 + x 2 d x

Por substituição, u = x 2 + 1 → d u = 2 x d x :

∫ 2 x 1 + x 2 d x = ∫ 1 u d x = ln ⁡ u + C

Voltando com a variável x :

∫ 2 x 1 + x 2 d x = ln ⁡ x 2 + 1 + C

Passo 2

Agora, vamos calcular a outra integral:

∫ 1 1 + x 2 1 t d t + C = ln ⁡ t 1 1 + x 2 + C = ln ⁡ 1 + x 2 - ln ⁡ 1 + C

∴

∫ 1 1 + x 2 1 t d t + C = ln ⁡ x 2 + 1 + C

Opa, tudo certo, os resultados bateram!! Então, a equação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira. Cálculos no passo a passo.

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(a) Seja f x = e - 2 x . Encontre o valor exato mais simples de f ( ln ⁡ 3 ) .(b) Seja f x = e x + 3 e - x . Encontre o valor exato mais simples de f ( ln ⁡ 2 ) .
Encontre(d)/(d x) (int_(3 x)^(x^2) (t - 1)/(t^2 + 1) d t) Escrevendoint_(3 x)^(x^2) (t - 1)/(t^2 + 1) d t = int_(3 x)^0 (t - 1)/(t^2 + 1) d t + int_0^(x^2) (t - 1)/(t^2 + 1) d t
Prove que a função F x = ∫ x 5 x 1 t d t É constante no intervalo ( 0 , + ∞ ) usando o exercício 28 para encontrar F ' ( x ) . Obtenha a constante.
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