Determine se a equação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

∫ 1 a 1 t d t = 1 2 ∫ 1 a 1 t d t , com 0 < a

Passo 1

Para determinar se a equação é verdadeira ou não, podemos resolver a integral dos dois lados e ver se os resultados batem:

∫ 1 a 1 t d t = 1 2 ∫ 1 a 1 t d t

Então, vamos resolver a integral da direita primeiro:

∫ 1 a 1 t d t = ln ⁡ t 1 a = ln ⁡ a - ln ⁡ 1 = ln ⁡ a 1 2

∫ 1 a 1 t d t = 1 2 ln ⁡ a

Passo 2

Agora, vamos calcular a outra integral:

1 2 ∫ 1 a 1 t d t = 1 2 ln ⁡ t 1 a = 1 2 ln ⁡ a - ln ⁡ 1

∫ 1 a 1 t d t = 1 2 ln ⁡ a

Opa, tudo certo, os resultados bateram!! Então, a equação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira. Cálculos no passo a passo.

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