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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.10 - Ex. 20

Determine se a equação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

∫ 1 a 1 t d t = 1 2 ∫ 1 a 1 t d t , com 0 < a

Passo 1

Para determinar se a equação é verdadeira ou não, podemos resolver a integral dos dois lados e ver se os resultados batem:

∫ 1 a 1 t d t = 1 2 ∫ 1 a 1 t d t

Então, vamos resolver a integral da direita primeiro:

∫ 1 a 1 t d t = ln ⁡ t 1 a = ln ⁡ a - ln ⁡ 1 = ln ⁡ a 1 2

∫ 1 a 1 t d t = 1 2 ln ⁡ a

Passo 2

Agora, vamos calcular a outra integral:

1 2 ∫ 1 a 1 t d t = 1 2 ln ⁡ t 1 a = 1 2 ln ⁡ a - ln ⁡ 1

∴

∫ 1 a 1 t d t = 1 2 ln ⁡ a

Opa, tudo certo, os resultados bateram!! Então, a equação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira. Cálculos no passo a passo.

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Simplifique a expressão e obtenha os valores de x com os quais sua simplificação seja válida.(a) e - ln ⁡ x
Use os resultados do exercício 24 para encontrar a derivada:(a) d d x ∫ x 0 1 t 2 + 1 2 d t (b) d d x ∫ 1 / x π cos 3 ⁡ ( t ) d t
Encontre a derivada usando a Fórmula (18) e verifique sua resposta calculando a integral e depois diferenciando.(a) d d x ∫ 1 x 3 1 t d t (b) d d x ∫ 1 ln ⁡ x e t d t
Simplifique a expressão e obtenha os valores de x com os quais sua simplificação seja válida. (c) l n ⁡ ( e - x 2 )
Use o exercício 24b e a ideia do exercício 27 para mostrar que d d x ∫ h x g x f ( t ) d t = f g x g ' x - f h x h ' ( x )